Gaussiska polära koordinater

I teorin om Lorentziska grenrör tillåter sfäriskt symmetriska rumstider en familj av kapslade runda sfärer . I var och en av dessa sfärer kan varje punkt föras till vilken som helst annan genom en lämplig rotation kring symmetricentrum.

Det finns flera olika typer av koordinatdiagram som är anpassade till denna familj av kapslade sfärer, som var och en introducerar en annan typ av distorsion. Det mest kända alternativet är Schwarzschild-diagrammet , som korrekt representerar avstånd inom varje sfär, men (i allmänhet) förvränger radiella avstånd och vinklar . Ett annat populärt val är det isotropiska diagrammet , som korrekt representerar vinklar (men i allmänhet förvränger både radiella och tvärgående avstånd). Ett tredje val är det Gaussiska polardiagrammet , som korrekt representerar radiella avstånd, men förvränger tvärgående avstånd och vinklar. Det finns andra möjliga diagram; artikeln om sfäriskt symmetrisk rumtid beskriver ett koordinatsystem med intuitivt tilltalande funktioner för att studera infallande materia. I alla fall representeras de kapslade geometriska sfärerna av koordinatsfärer, så vi kan säga att deras rundhet är korrekt representerad.

Definition

I ett Gaussiskt polärt diagram (på ett statiskt sfäriskt symmetriskt rumtid) tar metriken (alias linjeelement ) formen

$g=-a(r)^{2 }\,dt^{2}+dr^{2}+b(r)^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\ phi ^{2}\right),$

$-\infty <t<\infty ,\,r_{0}<r<r_{1},\,0<\theta <\pi ,\,-\pi <\phi <\pi .$

Beroende på sammanhang kan det vara lämpligt att betrakta $a$ och $b$ som obestämda funktioner för den radiella koordinaten $r$ . Alternativt kan vi koppla in specifika funktioner (möjligen beroende på vissa parametrar) för att erhålla ett isotropiskt koordinatdiagram på en specifik Lorentzisk rumtid.

Ansökningar

Gaussiska sjökort är ofta mindre bekväma än Schwarzschild eller isotropa sjökort. Emellertid har de funnit tillfällig tillämpning i teorin om statiska sfäriskt symmetriska perfekta vätskor.

Se även

• Statisk rumtid
• Statiska sfäriskt symmetriska perfekta vätskor
• Schwarzschild koordinerar
• Isotropiska koordinater
• Ramfält i allmän relativitet för mer om ramfält och coframefält.