Projektiv vektorfält

Ett projektivt vektorfält ( projective ) är ett jämnt vektorfält på ett semi- riemannskt grenrör (p.ex. spacetime ) $M$ vars flöde bevarar den geodetiska strukturen för $M$ utan att nödvändigtvis bevara den affina parametern för någon geodetisk. Mer intuitivt, flödet av de projektiva kartorna geodetik smidigt till geodetik utan att bevara den affina parametern.

Sönderfall

När man hanterar ett vektorfält $X$ på ett semi- riemannskt grenrör (p.ex. i allmän relativitet ), är det ofta användbart att dekomponera den kovariansderivata i dess symmetriska och skevsymmetriska delar:

X_{a;b}={\frac {1}{2}}h_{ab}+F_{ab}

var

h_{ab}=({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab}=X_{a;b}+X_{b;a}

och

F_{ab}={\frac {1}{2}}(X_{a;b}-X_{b;a})

Observera att $X_{a}$ är de kovarianta komponenterna i $X$ .

Likvärdiga förhållanden

Matematiskt är villkoret för att ett vektorfält $X$ ska vara projektivt ekvivalent med förekomsten av en enformad $\psi$ som uppfyller

X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _ {c)}

vilket motsvarar

h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _ {b}+g_{bc}\psi _{a}

Uppsättningen av alla globala projektiva vektorfält över ett sammankopplat eller kompakt grenrör bildar en ändlig dimensionell Lie-algebra betecknad med ${\displaystyle P(M)} ($ den projektiva algebra ) och uppfyller för anslutna grenrör villkoret: $\dim P(M)\leq n(n+2)$ . Här bestäms ett projektivt vektorfält unikt genom att ange värdena för $X$ , $\nabla X$ och $\nabla \nabla X$ (motsvarande specificerar $X$ , $h$ , $F$ och $\psi$ ) vid vilken punkt som helst av $M$ . (För icke-anslutna grenrör måste du ange dessa 3 i en punkt per ansluten komponent.) Projektiv uppfyller också egenskaperna:

{\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}

{\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}

Subalgebras

Flera viktiga specialfall av projektiva vektorfält kan förekomma och de bildar Lie subalgebras av $P(M)$ . Dessa subalgebror är användbara, till exempel, för att klassificera rumtider i allmän relativitet.

Affin algebra

Affina vektorfält (affiner) uppfyller $\nabla h=0$ (motsvarande $\psi =0$ ) och därför är varje affin projektiv. Affines bevarar den geodetiska strukturen av semi Riem. manifold (läs rumtid) samtidigt som den affina parametern bevaras. Mängden av alla affiner på $M$ bildar en Lie-subalgebra av $P(M)$ betecknad med $A(M)$ (den affina algebra ) och uppfyller för ansluten M , $\dim A(M)\leq n(n+1)$ . En affin vektor bestäms unikt genom att specificera värdena för vektorfältet och dess första kovariantderivata (motsvarande specificerar $X$ , $h$ och $F$ ) vid vilken punkt som helst av $M$ . Affines bevarar även Riemann-, Ricci- och Weyl-tensorerna, dvs

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0} ,

L

\displaystyle {\mathcal { L}}_{X}R_{ab}=0}

,

{\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0

Homotetisk algebra

Homotetiska vektorfält (homoteties) bevarar metriken upp till en konstant faktor, dvs $h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg$ . Eftersom $\nabla h=0$ , är varje homoteti en affin och mängden av alla homoteter på $M$ bildar en Lie subalgebra av $A(M)$ betecknad av $H(M)$ (den homotetiska algebra ) och uppfyller för ansluten M

\dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1

.

Ett homotetiskt vektorfält bestäms unikt genom att specificera värdena för vektorfältet och dess första kovariansderivata (motsvarande specificerar ${\displaystyle X} ,$ F $\displaystyle F}$ och ${\displaystyle c} )$ vid vilken punkt som helst i grenrör.

Dödande algebra

Dödande vektorfält (Killings) bevarar måttet, dvs $h={\mathcal {L}}_{X}g=0$ . Om man tar $c=0$ i den definierande egenskapen för en homotet, ser man att varje Killing är en homoteti (och därmed en affin) och uppsättningen av alla Killing-vektorfält på $M$ bildar en Lie subalgebra av $H(M)$ betecknad med $K(M)$ (Dödande algebra ) och uppfyller för ansluten M

\dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)

.

Ett dödande vektorfält bestäms unikt genom att specificera värdena för vektorfältet och dess första kovariansderivata (på motsvarande sätt specificerar $X$ och $F$ ) vid vilken punkt som helst (för varje ansluten komponent) av $M$ .

Ansökningar

I allmän relativitetsteori har många rumtider vissa symmetrier som kan karakteriseras av vektorfält på rumtiden. Till exempel, Minkowski space ${\mathbb {M} }$ medger den maximala projektiva algebra, dvs $\dim P({\mathbb {M} })=24$ .

Många andra tillämpningar av symmetri-vektorfält inom allmän relativitetsteori kan hittas i Hall (2004) som också innehåller en omfattande bibliografi inklusive många forskningsartiklar inom området symmetrier i allmän relativitet .

Poor, W. (1981). Differentialgeometriska strukturer . New York: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0 .
Yano, K. (1970). Integralformler i Riemannsk geometri . New York: Marcel Dekker. ISBN ???.
Hall, Graham (2004). Symmetrier och krökningsstruktur i allmän relativitet (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapore: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5 .