Sadel-nod bifurkation

Inom det matematiska området för bifurkationsteorin är en sadel-nod-bifurkation , tangentiell bifurkation eller veckbifurkation en lokal bifurkation där två fasta punkter (eller jämvikter ) i ett dynamiskt system kolliderar och utplånar varandra. Termen "sadel-nod bifurkation" används oftast när det gäller kontinuerliga dynamiska system. I diskreta dynamiska system kallas samma bifurkation ofta istället för en veckbifurkation . Ett annat namn är blå himmel förgrening med hänvisning till det plötsliga skapandet av två fasta punkter.

Om fasutrymmet är endimensionellt är en av jämviktspunkterna instabil (sadeln), medan den andra är stabil (noden).

Sadel-nodbifurkationer kan vara associerade med hysteresloopar och katastrofer .

Normal form

Ett typiskt exempel på en differentialekvation med en sadel-nod-bifurkation är:

{\frac {dx}{dt}}=r+x^{2}.

Här är $x$ tillståndsvariabeln och $r$ är bifurkationsparametern.

Om $r<0$ finns det två jämviktspunkter, en stabil jämviktspunkt vid $-{\sqrt {-r}}$ och en instabil vid $+{ \sqrt {-r}}$ .
Vid $r=0$ (bifurkationspunkten) finns det exakt en jämviktspunkt. Vid denna tidpunkt är den fasta punkten inte längre hyperbolisk . I detta fall kallas den fasta punkten för en sadel-nod fixpunkt.
Om $r>0$ finns inga jämviktspunkter.

Sadelnodsförgrening

I själva verket är detta en normal form av en sadel-nod-bifurkation. En skalär differentialekvation ${\tfrac {dx}{dt}}=f(r,x)$ som har en fixpunkt vid $x=0$ för $r=0$ med ${\tfrac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=0$ är lokalt topologiskt ekvivalent med ${\frac {dx}{dt}}=r\pm x^{2}$ , förutsatt att den uppfyller ${ \tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0$ och ${\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0$ . Det första tillståndet är icke-degenerationstillståndet och det andra tillståndet är transversalitetstillståndet.

Exempel i två dimensioner

Fasporträtt som visar sadel-nod-bifurkation

Ett exempel på en sadel-nod-bifurkation i två dimensioner förekommer i det tvådimensionella dynamiska systemet:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}

{\frac {dy}{dt}}=-y.

Som kan ses av animeringen som erhålls genom att plotta fasporträtt genom att variera parametern $\alpha$ ,

När $\alpha$ är negativ finns det inga jämviktspunkter.
När $\alpha =0$ finns det en sadelnodpunkt.
När $\alpha$ är positiv finns det två jämviktspunkter: det vill säga en sadelpunkt och en nod (antingen en attraktion eller en repeller).

En sadel-nod-bifurkation förekommer också i konsumentekvationen (se transkritisk bifurkation ) om konsumtionstermen ändras från $px$ till $p$ , det vill säga konsumtionshastigheten är konstant och inte proportionell till resurs $x$ .

Andra exempel är i modellering av biologiska växlar. Nyligen visades det att under vissa förhållanden har Einsteins fältekvationer av allmän relativitet samma form som en veckbifurkation. En icke-autonom version av sadel-nod-bifurkationen (dvs parametern är tidsberoende) har också studerats.

Se även

Anteckningar

Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elements of Applied Bifurcation Theory (andra upplagan). Springer. ISBN 0-387-98382-1 .
Strogatz, Steven H. (1994). Icke-linjär dynamik och kaos . Addison Wesley. ISBN 0-201-54344-3 .
Weisstein, Eric W. "Fold Bifurcation" . MathWorld .
Chong, KH; Samarasinghe, S.; Kulasiri, D.; Zheng, J. (2015). Beräkningstekniker i matematisk modellering av biologiska switchar . I Weber, T., McPhee, MJ och Anderssen, RS (red) MODSIM2015, 21st International Congress on Modeling and Simulation (MODSIM 2015). Modeling and Simulation Society of Australia and New Zealand, december 2015, s. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5 .
Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2018). Einsteins fältekvationer som en veckbifurkation . Journal of Geometry and Physics Volym 123, januari 2018, Sidorna 434-437.