Transkritisk bifurkation

I bifurkationsteorin , ett fält inom matematiken , är en transkritisk bifurkation en speciell typ av lokal bifurkation , vilket betyder att den kännetecknas av en jämvikt som har ett egenvärde vars reella del går igenom noll.

Den normala formen av en transkritisk bifurkation, där r sträcker sig från -5 till 5.

En transkritisk bifurkation är en där en fast punkt finns för alla värden på en parameter och aldrig förstörs. En sådan fixpunkt byter emellertid ut sin stabilitet med en annan fixpunkt när parametern varieras. Med andra ord, både före och efter bifurkationen finns det en instabil och en stabil fixpunkt. Men deras stabilitet byts ut när de kolliderar. Så den instabila fixpunkten blir stabil och vice versa.

Den normala formen av en transkritisk bifurkation är

${\frac {dx}{dt}}=rx-x^{2}.$

Denna ekvation liknar den logistiska ekvationen , men i det här fallet tillåter vi $r$ och $x$ att vara positiva eller negativa (medan i den logistiska ekvationen $x$ och $r$ måste vara icke-negativ). De två fasta punkterna är vid $x=0$ och $x=r$ . När parametern $r$ är negativ, är den fasta punkten vid $x=0$ stabil och den fasta punkten $x=r$ är instabil. Men för ${\displaystyle r>0} är$ punkten vid $x=0$ instabil och punkten vid $x=r$ är stabil. Så bifurkationen sker vid $r=0$ .

Ett typiskt exempel (i verkligheten) kan vara konsument-producentproblemet där konsumtionen är proportionell mot (mängden) resurs.

Till exempel:

${\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,$

var

• $rx(1-x)$ är den logistiska ekvationen för resurstillväxt; och
• $px$ är förbrukningen, proportionell mot resursen $x$ .