Höggaffelförgrening

Inom bifurkationsteori , ett fält inom matematik , är en höggaffelbifurkation en speciell typ av lokal bifurkation där systemet övergår från en fast punkt till tre fasta punkter. Höggaffelbifurkationer, som Hopf-bifurkationer , har två typer - superkritiska och subkritiska.

I kontinuerliga dynamiska system som beskrivs av ODEs - dvs flöden - förekommer höggaffelbifurkationer generiskt i system med symmetri .

Superkritiskt fall

Superkritiskt fall: heldragna linjer representerar stabila punkter, medan prickade linjer representerar en instabil.

Den normala formen av den superkritiska höggaffelbifurkationen är

${\frac {dx}{dt}}=rx-x^{3}.$

För $r<0$ finns det en stabil jämvikt vid $x=0$ . För $r>0$ finns en instabil jämvikt vid $x=0$ och två stabila jämvikter vid $x=\pm {\sqrt {r}}$ .

Subkritiskt fall

Subkritiskt fall: heldragen linje representerar stabil punkt, medan prickade linjer representerar instabila.

Normalformen för det subkritiska fallet är

${\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.$

I det här fallet, för ${\displaystyle r<0} är$ jämvikten vid $x=0$ stabil, och det finns två instabila jämvikter vid $x=\pm {\ sqrt {-r}}$ . För ${\displaystyle r>0} är$ jämvikten vid $x=0$ instabil.

Formell definition

En ODE

${\dot {x}}=f(x,r)\,$

beskrivs av en enparametersfunktion $f(x,r)$ med $r\in \mathbb {R}$ som uppfyller:

$-f(x,r)=f(-x,r)\,\,$ (f är en udda funktion ),

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2} f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0, r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{ 2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}$

har en höggaffelförgrening vid $(x,r)=(0,r_{0})$ . Höggaffelns form ges av tecknet på den tredje derivatan:

${\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}) {\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,$

Observera att subkritisk och superkritisk beskriver stabiliteten hos höggaffelns yttre linjer (streckade respektive heldragna) och inte är beroende av i vilken riktning höggaffeln är vänd. Till exempel, negativet för den första ODE ovan, ${\dot {x}}=x^{3}-rx$ , är vänd i samma riktning som den första bilden men vänder stabilitet.

Se även

• Bifurkationsteori
• Bifurkationsdiagram

• Steven Strogatz, Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering , Perseus Books, 2000.
• S. Wiggins, Introduction to Applied Nolinear Dynamical Systems and Chaos , Springer-Verlag, 1990.