Hyperbolisk jämviktspunkt

I studien av dynamiska system är en hyperbolisk jämviktspunkt eller hyperbolisk fixpunkt en fixpunkt som inte har några mittgrenrör . Nära en hyperbolisk punkt liknar banorna i ett tvådimensionellt, icke-dissipativt system hyperboler. Detta håller inte i allmänhet. Strogatz noterar att "hyperboliskt är ett olyckligt namn - det låter som att det borde betyda " sadelpunkt " - men det har blivit standard." Flera egenskaper har ungefär ett område av en hyperbolisk punkt, särskilt

Banor nära en tvådimensionell sadelpunkt, ett exempel på en hyperbolisk jämvikt.

ett stabilt grenrör och ett instabilt grenrör,
Skuggning uppstår,
Dynamiken på den invarianta mängden kan representeras via symbolisk dynamik ,
Ett naturligt mått kan definieras,
Systemet är strukturellt stabilt .

Kartor

Om $T\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ är en C ¹ -karta och p är en fixpunkt så sägs p att vara en hyperbolisk fixpunkt när den jakobiska matrisen $\operatorname {D} T(p)$ inte har några egenvärden på enhetscirkeln .

Ett exempel på en karta vars enda fasta punkt är hyperbolisk är Arnolds kattkarta :

{\begin{bmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{bmatrix }}={\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{bmatrix}}

Eftersom egenvärdena ges av

\lambda _{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}

\lambda _{ 2}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}

Vi vet att Lyapunov-exponenterna är:

\lambda _{1}={\frac {\ln(3+{\sqrt {5}})}{2}}>1

\lambda _{2}={\frac {\ln(3-{\sqrt {5}})}{2}}<1

Därför är det en sadelpunkt.

Flöden

Låt ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} vara$ ett C ¹ vektorfält med en kritisk punkt p , dvs F ( p ) = 0, och låt J beteckna den jakobiska matrisen för F vid p . Om matrisen J inte har några egenvärden med noll reella delar så kallas p hyperbolisk . Hyperboliska fixpunkter kan också kallas hyperboliska kritiska punkter eller elementära kritiska punkter .

Hartman -Grobman-satsen säger att omloppsstrukturen för ett dynamiskt system i närheten av en hyperbolisk jämviktspunkt är topologiskt ekvivalent med omloppsstrukturen för det linjäriserade dynamiska systemet.

Exempel

Tänk på det olinjära systemet

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y,\\[5pt ]{\frac {dy}{dt}}&=-xx^{3}-\alpha y,~\alpha \neq 0\end{aligned}}

(0, 0) är den enda jämviktspunkten. Lineariseringen vid jämvikten är

J(0,0)=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\-1&-\alpha \end{array}}\right].

Egenvärdena för denna matris är ${\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}$ . För alla värden på α ≠ 0 har egenvärdena en real del som inte är noll. Således är denna jämviktspunkt en hyperbolisk jämviktspunkt. Det linjäriserade systemet kommer att bete sig liknande det icke-linjära systemet nära (0, 0). När α = 0 har systemet en icke-hyperbolisk jämvikt vid (0, 0).

Kommentarer

I fallet med ett oändligt dimensionellt system – till exempel system som involverar en tidsfördröjning – hänvisar begreppet "hyperbolisk del av spektrumet" till ovanstående egenskap.

Se även

Anteckningar

^ Strogatz, Steven (2001). Icke-linjär dynamik och kaos . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6 .
^ Ott, Edward (1994). Kaos i dynamiska system . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43799-7 .
^ Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Mekanikens grunder . Läsmässa: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .

Eugene M. Izhikevich (red.). "Jämvikt" . Scholarpedia .

[1] Strogatz, Steven (2001). Icke-linjär dynamik och kaos . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6 .

[2] Ott, Edward (1994). Kaos i dynamiska system . Cambridge University Press. ISBN 0-521-43799-7 .

[3] Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Mekanikens grunder . Läsmässa: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X .