SQ-universell grupp

Inom matematiken , inom gruppteorin , sägs en räknebar grupp vara SQ-universal om varje räknebar grupp kan bäddas in i en av dess kvotgrupper . SQ-universalitet kan ses som ett mått på en grupps storhet eller komplexitet.

Historia

Många klassiska resultat av kombinatorisk gruppteori, som går tillbaka till 1949, tolkas nu som att en viss grupp eller klass av grupper är (är) SQ-universal. Den första uttryckliga användningen av termen tycks dock vara i ett tal som Peter Neumann höll till The London Algebra Colloquium med titeln "SQ-universal groups" den 23 maj 1968.

Exempel på SQ-universella grupper

1949 bevisade Graham Higman , Bernhard Neumann och Hanna Neumann att varje räknebar grupp kan bäddas in i en tvågeneratorgrupp. Med användning av det samtida språket SQ-universalitet, säger detta resultat att F ₂ , den fria gruppen (icke- abel ) på två generatorer , är SQ-universal. Detta är det första kända exemplet på en SQ-universell grupp. Många fler exempel är nu kända:

• Att lägga till två generatorer och en godtycklig relator till en icke -trivial vridningsfri grupp, resulterar alltid i en SQ-universell grupp.
• Alla icke-elementära grupper som är hyperboliska med avseende på en samling korrekta undergrupper är SQ-universal.
• Många HNN-tillägg , gratisprodukter och gratisprodukter med sammanslagning .
• Fyrgenerators Coxeter-gruppen med presentation :

$P=\left\langle a,b,c,d\,|\,a^{2}=b^{2}=c^{2}=d^{2}=(ab)^{ 3}=(bc)^{3}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(cd)^{3}=(bd)^{3}=1\right\rangle$

• Charles F. Miller III:s exempel på en ändligt presenterad SQ-universell grupp vars alla icke-triviala kvoter har olösliga ordproblem .

Dessutom är mycket starkare versioner av Higmann-Neumann-Neumann-satsen nu kända. Ould Houcine har bevisat:

För varje räknebar grupp G finns det en 2-generator SQ-universell grupp H så att G kan bäddas in i varje icke-trivial kvot av H .

Några elementära egenskaper hos SQ-universella grupper

En fri grupp på oräkneligt många generatorer h ₁ , h ₂ , ..., h _n , ..., säg, måste vara inbäddningsbar i en kvot av en SQ-universell grupp G . Om $h_{1}^{*},h_{2}^{*},\dots ,h_{n}^{*}\ prickar \i G$ väljs så att $h_{n}^{*}\mapsto h_{n}$ för alla n , då måste de fritt generera en fri undergrupp av G . Därav:

Varje SQ-universalgrupp har som en undergrupp, en fri grupp på otaligt många generatorer.

Eftersom varje räknebar grupp kan bäddas in i en räknebar enkel grupp räcker det ofta att överväga inbäddningar av enkla grupper. Denna observation tillåter oss att enkelt bevisa några elementära resultat om SQ-universella grupper, till exempel:

Om G är en SQ-universell grupp och N är en normal undergrupp av G (dvs $N\triangleleft G$ ) så är antingen N SQ-universal eller kvotgruppen G / N är SQ-universal.

För att bevisa detta, anta att N inte är SQ-universell, då finns det en räknebar grupp K som inte kan bäddas in i en kvotgrupp av N . Låt H vara vilken som helst räknebar grupp, då är den direkta produkten H × K också räknebar och kan därför bäddas in i en räknebar enkel grupp S . Nu, enligt hypotesen, G SQ-universell så S kan bäddas in i en kvotgrupp, G / M , säg, av G . Den andra isomorfismsatsen säger oss:

$MN/M\cong N/(M\cap N)$

Nu är $MN/M\triangleleft G/M$ och S en enkel undergrupp av G / M så antingen:

$MN/M\cap S\cong 1$

eller:

$S\subseteq MN/M\cong N/(M\cap N)$ .

Det senare kan inte vara sant eftersom det innebär K ⊆ H × K ⊆ S ⊆ N /( M ∩ N ) i motsats till vårt val av K . Det följer att S kan bäddas in i ( G / M )/( MN / M ), som genom den tredje isomorfismsatsen är isomorft till G / MN , vilket i sin tur är isomorft till ( G / N )/( MN / N ) . Sålunda S inbäddats i en kvotgrupp av G / N , och eftersom H ⊆ S var en godtycklig räkningsbar grupp, följer att G / N är SQ-universal.

Eftersom varje undergrupp H av ändligt index i en grupp G innehåller en normal undergrupp N också av ändligt index i G , följer det lätt att:

Om en grupp G är SQ-universal så är det även vilken finit indexundergrupp H som helst av G . Motsatsen till detta uttalande är också sant.

Varianter och generaliseringar av SQ-universalitet

Flera varianter av SQ-universalitet förekommer i litteraturen. Läsaren bör varnas för att terminologin på detta område ännu inte är helt stabil och bör läsa detta avsnitt med denna varning i åtanke.

Låt ${\mathcal {P}}$ vara en grupp av grupper. (För detta avsnitt definieras grupper upp till isomorfism ) En grupp G kallas SQ-universal i klassen ${\mathcal {P}}$ om $G\in {\ mathcal {P}}$ och varje räknebar grupp i ${\mathcal {P}}$ är isomorf till en undergrupp av en kvot av G . Följande resultat kan bevisas:

Låt n , m ∈ Z där m är udda, $n>10^{78}$ och m > 1, och låt B ( m , n ) vara den fria m-generatorn Burnside group , sedan varje icke- cyklisk undergrupp av B ( m , n ) är SQ-universal i klassen av grupper av exponent n .

Låt ${\mathcal {P}}$ vara en klass av grupper. En grupp G kallas SQ-universal för klassen ${\mathcal {P}}$ om varje grupp i ${\mathcal {P}}$ är isomorf till en undergrupp av en kvot av G . Observera att det inte finns något krav på att $G\in {\mathcal {P}}$ eller att några grupper ska kunna räknas.

Standarddefinitionen av SQ-universalitet är ekvivalent med SQ-universalitet både i och för klassen av räknebara grupper.

Givet en räknebar grupp G , kalla en SQ-universell grupp H G - stabil , om varje icke-trivial faktorgrupp av H innehåller en kopia av G. Låt ${\mathcal {G}}$ vara klassen av ändligt presenterade SQ-universella grupper som är G -stabila för något G sedan Houcines version av HNN-satsen som kan återställas som:

Den fria gruppen på två generatorer är SQ-universal för ${\mathcal {G}}$ .

Det finns emellertid oräkneligt många ändligt genererade grupper, och en räknebar grupp kan bara ha oräkneligt många ändligt genererade undergrupper. Det är lätt att se från detta att:

Ingen grupp kan vara SQ-universal i ${\mathcal {G}}$ .

En oändlig klass ${\mathcal {P}}$ av grupper kan lindas om de ges några grupper $F,G\i {\mathcal {P}}$ det finns en enkel grupp S och en grupp $H\in {\mathcal {P}}$ så att F och G kan bäddas in i S och S kan bäddas in i H . Det är lätt att bevisa:

Om ${\mathcal {P}}$ är en lindningsbar grupp av grupper, är G en SQ-universal för ${\mathcal {P}}$ och $N\triangleleft G$ då är antingen N SQ-universal för ${\mathcal {P}}$ eller G / N är SQ-universal för ${\mathcal {P}}$ .

Om ${\mathcal {P}}$ är en lindningsbar klass av grupper och H har ändligt index i G så är G SQ-universal för klassen ${\mathcal {P}}$ om och endast om H är SQ-universal för ${\mathcal {P}}$ .

Motivationen för definitionen av lindningsbar klass kommer från resultat som Boone-Higman-satsen, som säger att en räknebar grupp G har ett lösligt ordproblem om och bara om den kan bäddas in i en enkel grupp S som kan bäddas in i en ändlig grupp. presenterade grupp F . Houcine har visat att gruppen F kan konstrueras så att den också har lösliga ordproblem. Detta tillsammans med det faktum att att ta den direkta produkten av två grupper bevarar lösligheten av ordet problem visar att:

Klassen av alla ändligt presenterade grupper med lösliga ordproblem är lindningsbar.

Andra exempel på lindningsbara grupper av grupper är:

• Klassen av ändliga grupper .
• Klassen av torsionsfria grupper.
• Klassen av räknebara vridningsfria grupper.
• Klassen av alla grupper av en given oändlig kardinalitet .

Det faktum att en klass ${\mathcal {P}}$ är lindningsbar innebär inte att några grupper är SQ-universella för ${\mathcal {P}}$ . Det är till exempel tydligt att någon form av kardinalitetsbegränsning för medlemmarna i ${\mathcal {P}}$ krävs.

Om vi ​​ersätter frasen "isomorphic till en undergrupp av en kvot av" med "isomorphic till en undergrupp av" i definitionen av "SQ-universal", får vi det starkare begreppet S-universal (respektive S-universal för / in ) ${\mathcal {P}}$ ). Higman Embedding Theorem kan användas för att bevisa att det finns en ändligt presenterad grupp som innehåller en kopia av varje ändligt presenterad grupp. Om ${\mathcal {W}}$ är klassen för alla ändligt presenterade grupper med lösliga ordproblem, då är det känt att det inte finns någon enhetlig algoritm för att lösa ordproblemet för grupper i ${\ mathcal {W}}$ . Det följer, även om beviset inte är så enkelt som man kan förvänta sig, att ingen grupp i ${\mathcal {W}}$ kan innehålla en kopia av varje grupp i ${\mathcal {W}}$ . Men det är tydligt att vilken SQ-universell grupp som helst är i ännu högre grad SQ-universal för ${\mathcal {W}}$ . Om vi ​​låter ${\mathcal {F}}$ vara klassen av ändligt presenterade grupper, och F ₂ vara den fria gruppen på två generatorer, kan vi summera detta som:

• F ₂ är SQ-universal i ${\mathcal {F}}$ och ${\mathcal {W}}$ .
• Det finns en grupp som är S-universal i ${\mathcal {F}}$ .
• Ingen grupp är S-universal i ${\mathcal {W}}$ .

Följande frågor är öppna (den andra innebär den första):

• Finns det en räknebar grupp som inte är SQ-universal men som är SQ-universal för ${\mathcal {W}}$ ?
• Finns det en räknebar grupp som inte är SQ-universal men som är SQ-universal i ${\mathcal {W}}$ ?

Även om det är ganska svårt att bevisa att F ₂ är SQ-universell, följer det faktum att det är SQ-universell för klassen av ändliga grupper lätt av dessa två fakta:

• Varje symmetrisk grupp i en ändlig mängd kan genereras av två element
• Varje ändlig grupp kan bäddas in i en symmetrisk grupp - den naturliga är Cayley-gruppen , som är den symmetriska gruppen som verkar på denna grupp som den ändliga mängden.

SQ-universalitet i andra kategorier

Om ${\mathcal {C}}$ är en kategori och ${\mathcal {P}}$ är en klass av objekt av ${\displaystyle {\mathcal {C}}},$ då definitionen av SQ-universal för ${\displaystyle {\mathcal {P}}} är$ helt klart vettig. Om ${\mathcal {C}}$ är en konkret kategori , då är definitionen av SQ-universal i ${\mathcal {P}}$ också vettig. Liksom i det gruppteoretiska fallet använder vi termen SQ-universal för ett objekt som är SQ-universellt både för och i klassen av räknebara objekt av ${\mathcal {C}}$ .

Många inbäddningssatser kan omformuleras i termer av SQ-universalitet. Shirshovs sats om att en Lie-algebra av ändlig eller räkningsbar dimension kan bäddas in i en Lie-algebra med 2 generatorer motsvarar påståendet att den fria Lie-algebra med 2 generatorer är SQ-universell (i kategorin Lie-algebra). Detta kan bevisas genom att bevisa en version av Higman, Neumann, Neumanns sats för Lie-algebror. Men versioner av HNN-satsen kan bevisas för kategorier där det inte finns någon tydlig uppfattning om ett fritt objekt. Till exempel kan det bevisas att varje separerbar topologisk grupp är isomorf till en topologisk undergrupp av en grupp som har två topologiska generatorer (det vill säga har en tät 2-generator undergrupp).

Ett liknande koncept gäller för fria galler . Det fria gittret i tre generatorer är oräkneligt oändligt. Det har, som ett subgitter, det fria gittret i fyra generatorer och, genom induktion, som ett subgitter, det fria gittret i ett räknebart antal generatorer.

•   Lawson, MV (1998). Inversa semigrupper: teorin om partiella symmetrier . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7 .