Rotationer och reflektioner i två dimensioner

I euklidisk geometri är tvådimensionella rotationer och reflektioner två typer av euklidiska planisometrier som är relaterade till varandra.

En rotation i planet kan bildas genom att komponera ett par reflektioner. Reflektera först en punkt $P$ till dess bild $P'$ på andra sidan av linjen $L 1$ . Reflektera sedan $P'$ till dess bild $P''$ på andra sidan av linjen $L 2$ . Om linjerna $L 1$ och $L 2$ bildar en vinkel $θ$ med varandra, så kommer punkterna $P$ och $P''$ att göra en vinkel $2 θ$ runt punkten $O$ , skärningspunkten mellan $L 1$ och $L 2$ . Dvs vinkeln $∠ POP''$ kommer att mäta $2 θ$ .

Ett par rotationer kring samma punkt $O$ kommer att motsvara en annan rotation kring punkt $O$ . Å andra sidan kommer sammansättningen av en reflektion och en rotation, eller av en rotation och en reflektion (sammansättningen är inte kommutativ ), att vara likvärdig med en reflektion.

Påståendena ovan kan uttryckas mer matematiskt. Låt en rotation kring origo $O$ med en vinkel $θ$ betecknas som $Rot(θ)$ . Låt en reflektion kring en linje $L$ genom origo som gör att en vinkel $θ$ med $x$ -axeln betecknas som $Ref(θ)$ . Låt dessa rotationer och reflektioner verka på alla punkter på planet, och låt dessa punkter representeras av positionsvektorer . Då kan en rotation representeras som en matris ,

\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \ theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},

och likaså för en eftertanke,

\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}} .

Med dessa definitioner av koordinatrotation och reflektion gäller följande fyra identiteter :

{\begin{aligned}\operatörsnamn {Rot} (\theta )\,\operatörsnamn {Rot} (\phi )&=\operatörsnamn {Rot} (\theta +\phi ),\\\operatörsnamn {Ref } (\theta )\,\operatörsnamn {Ref} (\phi )&=\operatörsnamn {Rot} (2\theta -2\phi ),\\\operatörsnamn {Rot} (\theta )\,\operatörsnamn {Ref } (\phi )&=\operatörsnamn {Ref} \left(\phi +{\frac {1}{2}}\theta \right),\\\operatörsnamn {Ref} (\phi )\,\operatörsnamn { Rot} (\theta )&=\operatörsnamn {Ref} \left(\phi -{\frac {1}{2}}\theta \right).\end{aligned}}

Dessa ekvationer kan bevisas genom enkel matrismultiplikation och tillämpning av trigonometriska identiteter , specifikt summa- och skillnadsidentiteter.

Uppsättningen av alla reflektioner i linjer genom origo och rotationer kring origo, tillsammans med operationen av sammansättningen av reflektioner och rotationer, bildar en grupp . Gruppen har en identitet: $Rot(0)$ . Varje rotation $Rot(φ)$ har en invers $Rot(- φ)$ . Varje reflektion $Ref(θ)$ är sin egen invers. Sammansättning har stängning och är associativ, eftersom matrismultiplikation är associativ.

Lägg märke till att både $Ref(θ)$ och $Rot(θ)$ har representerats med ortogonala matriser . Dessa matriser har alla en determinant vars absoluta värde är enhet. Rotationsmatriser har en determinant på +1 och reflektionsmatriser har en determinant på -1.

Mängden av alla ortogonala tvådimensionella matriser tillsammans med matrismultiplikation bildar den ortogonala gruppen : $O (2)$ .

Följande tabell ger exempel på rotations- och reflektionsmatris:

Typ	vinkel θ	matris
Rotation	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Rotation	$\pm$ 45°	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Rotation	90°	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
Rotation	180°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Reflexion	0°	${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Reflexion	45°	${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
Reflexion	90°	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Reflexion	-45°	${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Se även