Richards ekvation

Richards ekvation representerar rörelsen av vatten i omättade jordar, och tillskrivs Lorenzo A. Richards som publicerade ekvationen 1931. Det är en kvasilinjär partiell differentialekvation ; dess analytiska lösning är ofta begränsad till specifika initiala och randvillkor. Bevis på existens och unika gavs först 1983 av Alt och Luckhaus. Ekvationen är baserad på Darcy-Buckinghams lag som representerar flöde i porösa medier under varierande mättade förhållanden, vilket anges som

${\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),$

var

${\vec {q}}$ är det volymetriska flödet ;

$\theta$ är den volymetriska vattenhalten ;

$h$ är vätsketrycket , vilket är negativt för omättade porösa medier;

$\mathbf {K} (h)$ är den omättade hydrauliska konduktiviteten;

$\nabla z$ är den geodetiska huvudgradienten, som antas vara $\nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end {smallmatrix}}\right)$ för tredimensionella problem.

Med tanke på lagen om masskonservering för ett inkompressibelt poröst medium och konstant vätskedensitet, uttryckt som

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0$ ,

var

$S$ är sänktermen [T $^{-1}$ ], typiskt rotvattenupptag.

Genom att sedan ersätta flödena med Darcy-Buckinghams lag erhålls följande Richards-ekvation i blandad form:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h )(\nabla h+\nabla z)-S$ .

För modellering av endimensionell infiltration reduceras denna divergensform till

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial } {\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S$ .

Även om den tillskrivs LA Richards, introducerades ekvationen ursprungligen 9 år tidigare av Lewis Fry Richardson 1922.

Formuleringar

Richards ekvation förekommer i många artiklar i miljölitteraturen eftersom den beskriver flödet i den vadosa zonen mellan atmosfären och akvifären. Det förekommer också i rena matematiska tidskrifter eftersom det har icke-triviala lösningar. Den ovan givna blandade formuleringen involverar två okända variabler: $\theta$ och $h$ . Detta kan enkelt lösas genom att betrakta den konstitutiva relationen ${\displaystyle \theta (h)} ,$ som är känd som vattenretentionskurvan . Genom att tillämpa kedjeregeln kan Richards ekvation omformuleras som antingen $h$ -form (huvudbaserad) eller $\theta$ -form (mättnadsbaserad) Richards ekvation.

Huvudbaserad

Genom att tillämpa kedjeregeln på temporal derivata leder till

${\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\ theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}$ ,

där ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}} är$ känd som retentionsvattenkapaciteten $C( h)$ . Ekvationen anges då som

$C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S$ .

Den huvudbaserade Richards-ekvationen är benägen till följande beräkningsproblem: den diskretiserade temporala derivatan som använder den implicita Rothe- metoden ger följande approximation:

${\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{och så}}\ quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .$

Denna approximation ger ett fel $\varepsilon$ som påverkar masskonserveringen av den numeriska lösningen, och därför är speciella strategier för behandling av tidsderivata nödvändiga.

Mättnadsbaserad

Genom att tillämpa [[kedjeregeln]] på den rumsliga derivatan leder till

$\mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d }}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,$

där ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}} , vilket kan$ vara vidare formulerad som ${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}} ,$ är känd som jordvattnets diffusivitet ${ \displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$ . Ekvationen anges då som

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.$

Den mättnadsbaserade Richards-ekvationen är utsatt för följande beräkningsproblem. Eftersom gränserna $\lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty$ och ${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty } , där θ s {\displaystyle \theta$ _ $} }$ är den mättade (maximala) vattenhalten och $\theta _{r}$ är den resterande (minimala) vattenhalten en framgångsrik numerisk lösning är begränsad bara för vattenhaltsintervall som är tillfredsställande under den fullständiga mättnaden (mättnaden bör vara ännu lägre än luftinträdesvärdet ) samt tillfredsställande över restvattenhalten.

Parametrisering

Richards ekvation i någon av dess former involverar jordhydrauliska egenskaper, som är en uppsättning av fem parametrar som representerar jordtyp. Jordens hydrauliska egenskaper består vanligtvis av parametrar för vattenretentionskurvan av van Genuchten: ( $\alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s}, \theta _{r}$ ), där $\alpha$ är inversen av luftinträdesvärdet [L ⁻¹ ], $n$ är porstorleksfördelningsparametern [-], och ${\ displaystyle m}$ antas vanligtvis som $m=1-{\frac {1}{n}}$ . Vidare bör den mättade hydrauliska konduktiviteten ${\displaystyle \mathbf {K} _{s}} (vilket är$ en tensor av andra ordningen för icke isotrop miljö ) också tillhandahållas. Identifiering av dessa parametrar är ofta icke-trivial och har varit föremål för många publikationer under flera decennier.

Begränsningar

Den numeriska lösningen av Richards ekvation är ett av de mest utmanande problemen inom geovetenskap. Richards ekvation har kritiserats för att vara beräkningsmässigt dyr och oförutsägbar eftersom det inte finns någon garanti för att en lösare kommer att konvergera för en viss uppsättning jordkonstitutiva relationer. Avancerade beräknings- och mjukvarulösningar krävs här för att övervinna detta hinder. Metoden har också kritiserats för att överbetona kapilläritetens roll och för att på något sätt vara "alltför förenklad" I endimensionella simuleringar av nederbördsinfiltration i torra jordar krävs en fin rumslig diskretisering mindre än en cm nära landytan, vilket beror på den lilla storleken på den representativa elementära volymen för flerfasflöde i porösa medier. I tredimensionella tillämpningar är den numeriska lösningen av Richards ekvation föremål för bildförhållande där förhållandet mellan horisontell och vertikal upplösning i lösningsdomänen bör vara mindre än cirka 7. [

Se även

• Infiltration (hydrologi)
• Vattenretentionskurva
• Vadoszonsflödesmetod med ändlig vattenhalt
• Jordfuktighetshastighetsekvation