Ekvation för markfuktighetshastighet

Jordfuktighetsekvationen beskriver hastigheten som vatten rör sig vertikalt genom omättad jord under de kombinerade verkan av gravitation och kapilläritet, en process som kallas infiltration . Ekvationen är en annan form av Richardson/ Richards ekvation . Den viktigaste skillnaden är att den beroende variabeln är positionen för vätfronten $z$ , som är en funktion av tid, vatteninnehåll och mediaegenskaper. Jordfuktighetsekvationen består av två termer. Den första "advektionsliknande" termen utvecklades för att simulera ytinfiltration och utökades till vattenytan, vilket verifierades med hjälp av data som samlats in i en kolumnexperiment som mönstrades efter det berömda experimentet av Childs & Poulovassilis (1962) och mot exakta lösningar .

Ekvation för markfuktighetshastighet

Jordfuktighetsekvationen eller SMVE är en omtolkning av Richards ekvation där den beroende variabeln är positionen z för en vätfront av en viss fukthalt $\theta$ med tiden.

${{\displaystyle \cleft.z }{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi / \partial z}}}$

var:

$z$ är den vertikala koordinaten [L] (positiv nedåt),

$\theta$ är vattenhalten i jorden vid en punkt [-]

$K(\theta )$ är den omättade hydrauliska konduktiviteten [LT ⁻¹ ],

$\psi (\theta )$ är den kapillära tryckhöjden [L] (negativ för omättad jord),

$D( \theta )$ är markvattnets diffusivitet, som definieras som: ${\displaystyle K(\theta )\partial \psi /\partial \theta } ,$ [L ² T]

${ \displaystyle t}$ är tid [T].

Den första termen på höger sida av SMVE kallas "advektionsliknande" term, medan den andra termen kallas "diffusionsliknande" term. Den advektionsliknande termen för jordfuktighetsekvationen är särskilt användbar för att beräkna framskridandet av vätfronter för en vätska som invaderar ett omättat poröst medium under den kombinerade verkan av gravitation och kapilläritet eftersom den kan omvandlas till en vanlig differentialekvation genom att försumma diffusionen -liknande term. och det undviker problemet med representativ elementär volym genom användning av en diskretiserings- och lösningsmetod för fin vattenhalt.

Denna ekvation omvandlades till en uppsättning av tre vanliga differentialekvationer (ODEs) med användning av linjemetoden för att omvandla de partiella derivatorna på höger sida av ekvationen till lämpliga finita differensformer. Dessa tre ODE representerar dynamiken hos infiltrerande vatten, fallande sniglar respektive kapillärt grundvatten.

Härledning

Denna härledning av ekvationen för 1D markfuktighetshastighet för beräkning av vertikalt flöde $q$ av vatten i den vadosa zonen börjar med bevarande av massa för ett omättat poröst medium utan källor eller sänkor:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\frac {\partial q}{\partial z}}=0.$

Vi infogar sedan det omättade Buckingham–Darcy-flödet:

$q=-K(\theta ){\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}} +K(\theta ),$

ger Richards ekvation i blandad form eftersom den inkluderar både vattenhalten $\theta$ och kapillärhuvudet $\psi (\theta )$ :

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left[K(\theta )\left({\frac {\partial \psi (\theta)}{\partial z}}-1\right)\right]$ .

Att tillämpa kedjeregeln för differentiering på höger sida av Richards ekvation:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z, t)){\frac {\partial }{\partial z}}\psi (\theta (z,t))+K(\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{ 2}}}\psi (\theta (z,t))-{\frac {\partial }{\partial z}}K(\theta (z,t))$ .

Om vi ​​antar att de konstitutiva relationerna för omättad hydraulisk konduktivitet och markkapillaritet enbart är funktioner av vattenhalten, $K=K(\theta )$ och $\psi = \psi (\theta )$ , respektive:

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}=K'(\theta )\psi '(\theta )\left({\ frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)^{2}+K(\theta )\left[\psi ''(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{ \partial z}}\right)^{2}+\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial z^{2}}}\right]-K'( \theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}$ .

Denna ekvation definierar implicit en funktion $Z_{R}(\theta ,t)$ som beskriver positionen för en viss fukthalt i jorden med användning av en ändlig diskretisering av fuktinnehåll. Använder Implicit funktionssatsen , som enligt den cykliska regeln krävde att båda sidorna av denna ekvation skulle divideras med ${-\partial \theta }/{\partial z}$ för att utföra förändringen i variabeln, vilket resulterade i i:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\psi '(\theta ){\ frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}-K(\theta )\psi '(\theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}+K'(\theta )$ ,

som kan skrivas som:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta ) }{\partial z}}-1\right]-K(\theta )\left[\psi ''(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}+\psi '(\ theta ){\frac {\partial ^{2}\theta /\partial z^{2}}{\partial \theta /\partial z}}\right]$ .

Infoga definitionen av markvattnets diffusivitet:

$D(\theta )\equiv K(\theta ){\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}$

i föregående ekvation producerar:

${\ {R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

Om vi ​​betraktar hastigheten för ett visst vatteninnehåll $\theta$ , så kan vi skriva ekvationen i form av jordfuktighetsekvationen :

${{\displaystyle \cleft.z }{dt}}\right\vert _{\theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}\right)\right]-D(\theta ){\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi / \partial z}}}$

Fysisk betydelse

Skrivet i form av fukthalt är 1-D Richards ekvation

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\ partiell }{\partial z}}\left(D(\theta ){\frac {\partial \theta }{\partial z}}\right)+{\frac {\partial K(\theta)}{\partial z}}$

Där D ( θ ) [L ² /T] är 'jordvattnets diffusivitet' enligt tidigare definition.

Observera att med $\theta$ som beroende variabel är fysisk tolkning svår eftersom alla faktorer som påverkar flödets divergens är inlindade i jordfuktighetsdiffusionstermen $D(\theta )$ . Men i SMVE är de tre faktorerna som driver flödet i separata termer som har fysisk betydelse.

De primära antagandena som används vid härledningen av jordfuktighetsekvationen är att $K=K(\theta )$ och $\psi =\psi (\theta )$ är inte alltför restriktiva. Analytiska och experimentella resultat visar att dessa antaganden är acceptabla under de flesta förhållanden i naturliga jordar. I detta fall är jordfuktighetsekvationen ekvivalent med 1-D Richards ekvation, om än med en förändring i beroende variabel. Denna ändring av beroende variabel är bekväm eftersom den minskar problemets komplexitet eftersom jämfört med Richards ekvation , som kräver beräkning av divergensen av flödet, representerar SMVE en flödesberäkning, inte en divergensberäkning. Den första termen på höger sida av SMVE representerar de två skalära drivkrafterna för flöde, gravitation och den integrerade kapilläriteten hos vätfronten. Med tanke på just den termen blir SMVE:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-K'(\theta )\left[{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}-1\right]$

där ${\partial \psi (\theta )}/{\partial z}$ är kapillärhuvudets gradient som driver flödet och den återstående konduktivitetstermen ${ \displaystyle K'(\theta )}$ representerar gravitationens förmåga att leda flöde genom jorden. Denna term är ansvarig för den verkliga advektionen av vatten genom jorden under den kombinerade inverkan av gravitation och kapilläritet. Som sådan kallas det för den "advektionsliknande" termen.

Om vi ​​försummar tyngdkraften och den skalära vätande främre kapilläriteten, kan vi bara betrakta den andra termen på höger sida av SMVE. I detta fall blir jordfuktighetsekvationen:

${\frac {\partial Z_{R}}{\partial t}}=-D(\theta ) {\frac {\partial ^{2}\psi /\partial z^{2}}{\partial \psi /\partial z}}$

Denna term är slående lik Ficks andra diffusionslag . Av denna anledning kallas denna term den "diffusionsliknande" termen för SMVE.

Denna term representerar flödet på grund av formen på vätfronten $-D(\theta ){\partial ^{2}\psi /\partial z^{2 }}$ , dividerat med den rumsliga gradienten för kapillärhuvudet ${\partial \psi /\partial z}$ . Om man tittar på denna diffusionsliknande term är det rimligt att fråga sig när denna term kan vara försumbar? Det första svaret är att denna term kommer att vara noll när förstaderivatan ${\displaystyle <\partial \psi /\partial z=C} ,$ eftersom den andra derivatan blir lika med noll. Ett exempel där detta inträffar är i fallet med en hydrostatisk jämviktsfuktprofil, när $\partial \psi /\partial z=-1$ med z definierad som positiv uppåt. Detta är ett fysiskt realistiskt resultat eftersom det är känt att en hydrostatisk fuktprofil i jämvikt inte producerar flussmedel.

Ett annat exempel när den diffusionsliknande termen kommer att vara nästan noll är i fallet med skarpa vätfronter, där nämnaren för den diffusionsliknande termen $\partial \psi /\partial z\to \infty$ , vilket gör att termen försvinner. Speciellt är skarpa vätningsfronter notoriskt svåra att lösa och exakt lösa med traditionella numeriska Richards ekvationslösare.

Slutligen, i fallet med torra jordar, tenderar ${\displaystyle K(\theta )} mot$$0$ , vilket gör att markvattnets diffusivitet $D(\theta )$ tenderar mot noll likaså. I detta fall skulle den diffusionsliknande termen inte producera något flöde.

Att jämföra med exakta lösningar av Richards ekvation för infiltration i idealiserade jordar utvecklade av Ross & Parlange (1994) avslöjade att att negligerande av den diffusionsliknande termen faktiskt resulterade i noggrannhet >99% i beräknad kumulativ infiltration. Detta resultat indikerar att den advektionsliknande termen för SMVE, omvandlad till en vanlig differentialekvation med hjälp av linjemetoden, är en korrekt ODE-lösning av infiltrationsproblemet. Detta överensstämmer med resultatet publicerat av Ogden et al. som hittade fel i simulerad kumulativ infiltration på 0,3 % med användning av 263 cm tropiskt regn under en 8-månaders simulering för att driva infiltrationssimuleringar som jämförde den advektionsliknande SMVE-lösningen mot den numeriska lösningen av Richards ekvation.

Lösning

Den advektionsliknande termen för SMVE kan lösas med hjälp av metoden för linjer och en diskretisering av ändlig fukthalt . Denna lösning av den SMVE-advektionsliknande termen ersätter 1-D Richards ekvation PDE med en uppsättning av tre vanliga differentialekvationer (ODEs). Dessa tre ODE är:

Infiltrationsfronter

Infiltrationsfronter i ändlig vatteninnehållsdomän

Med hänvisning till figur 1 kan vatten som infiltrerar landytan strömma genom porutrymmet mellan $\theta _{d}$ och ${\displaystyle \theta _{i$ . Använda metoden med linjer för att konvertera den SMVE-advektionsliknande termen till en ODE:

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.$

Med tanke på att eventuellt vattendjup på landytan är $h_{p}$ används antagandet Green and Ampt (1911),

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p} }{z_{j}}},$

representerar kapillärhuvudgradienten som driver flödet i $j^{th}$ diskretiseringen eller "bin". Därför är den ändliga vatteninnehållsekvationen i fallet med infiltrationsfronter:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\ theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\höger ).$

Fallande sniglar

Fallande sniglar i den ändliga vattenhaltsdomänen. Vattnet i varje behållare anses vara en separat snigel.

Efter att nederbörden upphört och allt ytvatten infiltrerat, lossnar vatten i kärl som innehåller infiltrationsfronter från markytan. Om vi ​​antar att kapillariteten vid fram- och bakkanten av denna "fallande vattensnäcka" är balanserad, faller vattnet genom mediet med den inkrementella konduktiviteten som är associerad med j:ten Δ θ {\displaystyle j^{\ $} \ \Delta \theta }$ bin:

$\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j }={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}$ .

Detta tillvägagångssätt för att lösa den kapillärfria lösningen är mycket lik den kinematiska vågapproximationen.

Kapillära grundvattenfronter

Grundvattenkapillärfronter i ändlig vattenhaltsdomän

I det här fallet inträffar flödet av vatten till $j^{\text{th}}$ bin mellan bin j och i . Därför, i samband med metoden för linjer :

${\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\ frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},$

och

${\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}$

Vilket ger:

$\left({\frac {dH}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\ theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).$

Notera "-1" inom parentes, vilket representerar det faktum att gravitation och kapilläritet verkar i motsatta riktningar. Prestandan för denna ekvation verifierades med användning av ett kolumnexperiment utformat efter det av Childs och Poulovassilis (1962). Resultaten av den valideringen visade att beräkningsmetoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt fungerade jämförbart med den numeriska lösningen av Richards ekvation. Bilden visar apparater. Data från det här kolumnexperimentet är tillgängligt genom att klicka på denna hot-linked DOI . Dessa data är användbara för att utvärdera modeller av grundvattenytans dynamik nära ytan.

Det är anmärkningsvärt att den SMVE-advektionsliknande termen löst med den finita fukthaltsmetoden helt undviker behovet av att uppskatta det specifika utbytet . Att beräkna den specifika avkastningen när grundvattenytan närmar sig landytan blir besvärlig för mina icke-linjäriteter. Men SMVE löst med en ändlig diskretisering av fuktinnehåll gör detta i huvudsak automatiskt i fallet med ett dynamiskt grundvattenbord nära ytan.

Kolumnexperiment används för att observera fuktrespons i en fin sand ovanför ett rörligt grundvattenbord. Observera stegmotorstyrd behållare med konstant huvud (vit hink).

Meddelande och utmärkelser

Tidningen om jordfuktighetsekvationen lyftes fram av redaktören i numret av J. Adv. Modellering av jordsystem när tidningen först publicerades och är allmän egendom. Tidningen kan fritt laddas ner här av vem som helst. Uppsatsen som beskriver den ändliga lösningen med fuktinnehåll av den advektionsliknande termen i Soil Moisture Velocity Equation valdes ut för att ta emot 2015 Coolest Paper Award av de tidiga karriärmedlemmarna i International Association of Hydrogeologists .

externa länkar

• YouTube-video av SMVE-baserad lösning saktades ner under regn för att belysa beteendet, med fast grundvattennivå på 1,0 m och evapotranspiration från en 0,5 m rotzon