Vadoszonsflödesmetod med ändlig vattenhalt

Metoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt representerar ett endimensionellt alternativ till den numeriska lösningen av Richards ekvation för att simulera vattenrörelser i omättade jordar. Metoden med ändlig vattenhalt löser den advektionsliknande termen för jordfuktighetsekvationen , som är en vanlig differentialekvation till Richards partiella differentialekvation . Richards ekvation är svår att approximera generellt eftersom den inte har en i sluten form förutom i några få fall. Metoden med ändligt vatteninnehåll är kanske den första generiska ersättningen för den numeriska lösningen av Richards ekvation . Lösningen med ändlig vattenhalt har flera fördelar jämfört med Richards ekvationslösning . För det första, som en vanlig differentialekvation är den explicit, garanterad att konvergera och beräkningsmässigt billig att lösa. För det andra, genom att använda en lösningsmetod med ändlig volym är det garanterat att bevara massa. Metoden med ändlig vattenhalt simulerar lätt skarpa vätfronter, något som Richards lösning kämpar med. Det huvudsakliga begränsande antagandet som krävs för att använda den ändliga vattenhaltsmetoden är att jorden är homogen i lager.

Diskretisering av ändlig vatteninnehåll. Det porösa mediet är uppdelat i n enhetliga "behållare" med

\Delta \theta

vattenhalt.

Metoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt härleds från samma utgångspunkt som härledningen av Richards ekvation . Emellertid använder härledningen en hodograftransformation för att producera en advektionslösning som inte inkluderar jordvattendiffusion, där $z$ blir den beroende variabeln och $\theta$ blir en oberoende variabel:

\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{\ theta }={\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}\left[1-\left({\frac {\partial \psi (\theta)}{\partial z}}\ eller hur]\

var:

K

är den omättade hydrauliska konduktiviteten [LT ⁻¹ ],

\psi

är den kapillära tryckhöjden [L] (negativ för omättad jord),

z

är den vertikala koordinaten [ L] (positiv nedåt),

\theta

är vattenhalten , (−) och

t

är tid [T].

Denna ekvation omvandlades till en uppsättning av tre vanliga differentialekvationer (ODEs) med användning av linjemetoden för att omvandla de partiella derivatorna på höger sida av ekvationen till lämpliga finita differensformer. Dessa tre ODE representerar dynamiken hos infiltrerande vatten, fallande sniglar respektive kapillärt grundvatten.

Härledning

En överlägsen härledning publicerades 2017, som visar att denna ekvation är en diffusionsfri version av Jordfuktighetsekvationen .

Ett sätt att lösa denna ekvation är att lösa den för $q(\theta ,t)$ och $z(\theta ,t)$ genom integration:

\int {\frac {\partial q}{\partial \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\partial z }{\partial t}}\,d\theta

Istället används en ändlig diskretisering av vatteninnehållet och integralerna ersätts med summeringar:

\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}\Delta \theta =\summa _{j=1}^{N}\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_{j}\Delta \theta

där $N$ är det totala antalet ändliga vatteninnehållsbehållare.

Med detta tillvägagångssätt är bevarandeekvationen för varje fack:

\left[{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\right]_{j}=\left[{\frac {\partial z}{\partial t}}\right]_ {j}.

Metoden med linjer används för att ersätta de partiella differentialformerna på höger sida till lämpliga finita-skillnadsformer. Denna process resulterar i en uppsättning av tre vanliga differentialekvationer som beskriver dynamiken hos infiltrationsfronter, fallande sniglar och grundvattenkapillärfronter med en ändlig diskretisering av vatteninnehållet.

Viktiga metoder

Beräkningsmetoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt ersätter Richards ekvation PDE med en uppsättning av tre vanliga differentialekvationer (ODEs). Dessa tre ODEs utvecklas i följande avsnitt. Dessutom, eftersom metoden med ändlig vattenhalt inte uttryckligen inkluderar jordvattendiffusion, kräver den ett separat kapillärrelaxationssteg. Kapillärrelaxation representerar en minimeringsprocess för fri energi vid porskalan som inte ger någon advektion utöver REV-skalan.

Infiltrationsfronter

Infiltrationsfronter i ändlig vatteninnehållsdomän.

Med hänvisning till figur 1 kan vatten som infiltrerar landytan strömma genom porutrymmet mellan $\theta _{d}$ och ${\displaystyle \theta _{i$ . I samband med metoden för linjer ersätts de partiella derivattermerna med:

{\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\theta _{d}-\theta _{i}}}.

Med tanke på att eventuellt vattendjup på landytan är $h_{p}$ används antagandet Green and Ampt (1911),

{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p} }{z_{j}}},

representerar kapillärhuvudets gradient som driver flödet. Därför är den ändliga vatteninnehållsekvationen i fallet med infiltrationsfronter:

\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{d})-K(\theta _{i})}{\ theta _{d}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{d})|+h_{p}}{z_{j}}}+1\höger ).

Fallande sniglar

Fallande sniglar i den ändliga vattenhaltsdomänen. Vattnet i varje behållare anses vara en separat snigel.

Efter att nederbörden upphört och allt ytvatten infiltrerat, lossnar vatten i kärl som innehåller infiltrationsfronter från markytan. Om vi antar att kapilläriteten vid fram- och bakkanten av denna "fallande vattensnäcka" är balanserad, faller vattnet genom mediet med den inkrementella konduktiviteten som är associerad med j {\displaystyle j} -th Δ θ $\$ displaystyle $\ theta }$ bin:

\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j }={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{j-1})}{\theta _{j}-\theta _{j-1}}}

Kapillära grundvattenfronter

Grundvattenkapillärfronter i ändlig vattenhaltsdomän.

I det här fallet inträffar flödet av vatten till $j^{\text{th}}$ bin mellan bin j och i . Därför i samband med metoden för linjer :

{\frac {\partial K(\theta )}{\partial \theta }}={\ frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\theta _{j}-\theta _{i}}},

och,

{\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial z}}={\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}

Vilket ger:

\left({\frac {dz}{dt}}\right)_{j}={\frac {K(\theta _{j})-K(\theta _{i})}{\ theta _{j}-\theta _{i}}}\left({\frac {|\psi (\theta _{j})|}{H_{j}}}-1\right).

Prestandan för denna ekvation verifierades för fall där grundvattenytans hastighet var mindre än 0,92 ${\displaystyle K_{s}},$ med användning av ett kolumnexperiment utformat efter det av Childs och Poulovassilis (1962). Resultaten av denna validering visade att beräkningsmetoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt fungerade jämförbart med den numeriska lösningen av Richards ekvation.

Kapillär avslappning

Eftersom den hydrauliska konduktiviteten snabbt ökar när vatteninnehållet rör sig mot mättnad, med hänvisning till Fig. 1, kan kärl längst till höger i både kapillära grundvattenfronter och infiltrationsfronter "rinna ur" sina grannar till vänster. I diskretiseringen av den ändliga vattenhalten skingras dessa chocker av processen med kapillärrelaxation, som representerar en porskale-fri energiminimeringsprocess som inte producerar någon advektion bortom REV-skalan Numeriskt är denna process en numerisk sort som placerar fronterna i monotont avtagande magnitud från vänster-höger.

Konstitutiva relationer

Metoden för vadoszonflöde med ändlig vattenhalt fungerar med alla monotona vattenretentionskurvor /omättade hydrauliska konduktivitetsförhållanden som Brooks och Corey Clapp och Hornberger och van Genuchten-Mualem. Metoden kan fungera med hysteretiska vätskeansamlingsförhållanden - dessa har ännu inte testats.

Begränsningar

Metoden med ändlig vattenhalt saknar effekten av jordvattendiffusion. Detta utelämnande påverkar inte noggrannheten av flödesberäkningar med metoden eftersom medelvärdet av det diffusiva flödet är litet. I praktiken betyder det att formen på vätfronten inte spelar någon roll för att driva infiltrationen. Metoden är hittills begränsad till 1-D i praktiska tillämpningar. Infiltrationsekvationen utökades till 2- och kvasi-3 dimensioner. Mer arbete återstår med att utöka hela metoden till mer än en dimension.

Utmärkelser

Uppsatsen som beskriver denna metod valdes ut av Early Career Hydrogeologists Network i International Association of Hydrogeologists för att ta emot priset "Coolest paper Published in 2015" som ett erkännande av publikationens potentiella inverkan på hydrogeologins framtid.

Se även