Representationsteori för diffeomorfismgrupper

Inom matematik är en källa för representationsteorin för gruppen av diffeomorfismer av en jämn mångfald M den initiala observationen att (för M ansluten) den gruppen verkar transitivt på M .

Historia

En undersökning från 1975 av ämnet av Anatoly Vershik , Israel Gelfand och MI Graev tillskriver det ursprungliga intresset för ämnet forskning i teoretisk fysik av den lokala nuvarande algebra, under de föregående åren. Forskning om de finita konfigurationsrepresentationerna gjordes i artiklar av RS Ismagilov (1971) och AA Kirillov (1974). Representationerna av intresse för fysik beskrivs som en korsprodukt C ^∞ ( M )·Diff( M ).

Konstruktioner

Låt därför M vara ett n -dimensionellt kopplat differentierbart grenrör och x vara vilken punkt som helst på den. Låt Diff( M ) vara den orienteringsbevarande diffeomorfismgruppen av M (endast identitetskomponenten för avbildningar homotopisk till identitetsdiffeomorfismen om du vill) och Diff _x ¹ ( M ) stabilisatorn för x . Sedan identifieras M som ett homogent utrymme

Diff( M )/Diff _x ¹ ( M ).

Ur algebraisk synvinkel är istället $C^{\infty }(M)$ algebra för jämna funktioner över M och $I_{x}(M)$ är idealet för smidiga funktioner som försvinner vid x . Låt $I_{x}^{n}(M)$ vara idealet för jämna funktioner som försvinner upp till den n-1:e partiella derivatan vid x . $I_{x}^{n}(M)$ är invariant under gruppen Diff _x ¹ ( M ) av diffeomorfismer som fixerar x. För n > 0 definieras gruppen Diff _x ⁿ ( M ) som undergruppen av Diff _x ¹ ( M ) som fungerar som identiteten på $I_{x}( M)/I_{x}^{n}(M)$ . Så vi har en nedåtgående kedja

Diff( M ) ⊃ Diff _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Diff _x ⁿ ( M ) ⊃ ...

Här är Diff _x ⁿ ( M ) en normal undergrupp av Diff _x ¹ ( M ), vilket betyder att vi kan titta på kvotgruppen

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M ).

Med hjälp av harmonisk analys kan en funktion med reellt eller komplext värde (med några tillräckligt fina topologiska egenskaper) på diffeomorfismgruppen delas upp i Diff _x ¹ ( M ) representationsvärdade funktioner över M .

Utbudet av representationer

Så vad är representationerna av Diff _x ¹ ( M )? Låt oss använda det faktum att om vi har en grupphomomorfism φ: G → H , så om vi har en H -representation, kan vi få en begränsad G -representation. Så, om vi har en rep av

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M ),

vi kan få en rep på Diff _x ¹ ( M ).

Låt oss titta på

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ² ( M )

först. Detta är isomorft för den allmänna linjära gruppen GL ⁺ ( n , R ) (och eftersom vi bara överväger orientering som bevarar diffeomorfismer och därför är determinanten positiv). Vilka är reps för GL ⁺ ( n , R )?

$GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL (n,\mathbb {R} )$ .

Vi vet att reps för SL( n , R ) helt enkelt är tensorer över n dimensioner. Vad sägs om R ⁺ -delen? Det motsvarar densiteten , eller med andra ord, hur tensorn skalas om under bestämningsfaktorn för diffeomorfismens Jacobian vid x . (Tänk på det som den konforma vikten om du så vill, förutom att det inte finns någon konform struktur här). (För övrigt finns det inget som hindrar oss från att ha en komplex täthet).

Så vi har precis upptäckt tensorrepeterna (med densitet) för diffeomorfismgruppen.

Låt oss titta på

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M ).

Detta är en ändlig dimensionell grupp. Vi har kedjan

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ⁿ ( M ) ⊂ ...

Här bör "⊂"-tecknen egentligen läsas för att betyda en injektiv homomorfism, men eftersom det är kanoniskt kan vi låtsas som att dessa kvotgrupper är inbäddade i varandra.

Någon rep av

Diff _x ¹ ( M )/Diff _x ^m ( M )

kan automatiskt förvandlas till en rep av

Diff _x ¹ /Diff _x ⁿ ( M )

om n > m . Låt oss säga att vi har en representant för

Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2}

som inte uppstår från en rep av

Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 1} .

Sedan kallar vi fiberknippet med det repet som fibern (dvs. Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2} är strukturgruppen ) för en jetbunt av ordningen p .

Sidanmärkning: Detta är egentligen metoden för inducerade representationer där den mindre gruppen är Diff _x ¹ (M) och den större gruppen är Diff( M ).

Sammanflätad struktur

I allmänhet skulle utrymmet för sektioner av tensor- och jetbuntarna vara en irreducerbar representation och vi tittar ofta på en underrepresentation av dem. Vi kan studera strukturen hos dessa representanter genom att studera sammanflätningarna mellan dem.

Om fibern inte är en irreducerbar representation av Diff _x ¹ ( M ), så kan vi ha en intertwiner som inte är noll som kartlägger varje fiber punktvis till en mindre kvotrepresentation. Den yttre derivatan är också en sammanflätning från utrymmet för differentialformer till ett annat av högre ordning. (Andra derivator är det inte, eftersom kopplingar inte är invarianta under diffeomorfismer, även om de är kovarianta .) Den partiella derivatan är inte diffeomorfisminvariant. Det finns en härledd sammanflätning som tar sektioner av en jetbunt av ordningen p till sektioner av en jetbunt av ordningen p + 1.