Kumulativ hierarki

Inom matematik , särskilt mängdlära , är en kumulativ hierarki en familj av mängder $W_{\alpha }$ indexerade med ordtal $\alpha$ så att

• $W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}$
• Om $\lambda$ är en limitordinal , då ${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

Vissa författare kräver dessutom att $W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ eller att $W_{0}\neq \emptyset$ .

Unionen ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ av mängderna av en kumulativ hierarki används ofta som en modell för mängdteori.

Frasen "den kumulativa hierarkin" syftar vanligtvis på den kumulativa standardhierarkin $\mathrm {V} _{\alpha }$ i von Neumann-universumet med $\ mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })$ introducerad av Zermelo (1930) .

Reflektionsprincip

En kumulativ hierarki tillfredsställer en form av reflektionsprincipen : vilken formel som helst på språket för mängdteorin som håller i hierarkins union $W$ i hierarkin gäller även i vissa steg $W_{\alpha }$ .

Exempel

• von Neumanns universum är byggt från en kumulativ hierarki $\mathrm {V} _{\alpha }$ .
• Mängderna $\mathrm {L} _{\alpha }$ i det konstruerbara universum bildar en kumulativ hierarki.
• De booleska modellerna som konstruerats genom forcering byggs med hjälp av en kumulativ hierarki.
• De välgrundade uppsättningarna i en modell för mängdteori (möjligen inte uppfyller grundaxiomet ) bildar en kumulativ hierarki vars förening uppfyller grundaxiomet.

•    Jech, Thomas (2003). Mängdteori . Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Zbl 1007.03002 .
• Zermelo, Ernst (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" . Fundamenta Mathematicae . 16 :29–47. doi : 10.4064/fm-16-1-29-47 .