Rayleigh flöde

Rayleigh-flöde avser friktionsfritt, icke- adiabatiskt flöde genom en kanal med konstant area där effekten av värmetillförsel eller avstötning beaktas. Kompressibilitetseffekter kommer ofta i beaktande, även om Rayleigh-flödesmodellen säkert också gäller för inkompressibelt flöde . För denna modell förblir kanalarean konstant och ingen massa läggs till i kanalen. Fanno flow är därför stagnationstemperaturen variabel . Värmetillsatsen orsakar en minskning av stagnationstrycket , vilket är känt som Rayleigh-effekten och är avgörande vid konstruktionen av förbränningssystem. Värmetillsats kommer att få både överljuds- och underljuds Mach-tal att närma sig Mach 1, vilket resulterar i ett strypt flöde . Omvänt minskar värmeavstötning ett subsoniskt Mach-tal och ökar ett överljuds Mach-tal längs kanalen. Det kan visas att för kalorimässigt perfekta flöden uppstår den maximala entropin vid M = 1. Rayleigh-flödet är uppkallat efter John Strutt, 3:e baron Rayleigh .

Teori

Figur 1 En Rayleigh-linje är ritad på den dimensionslösa H-ΔS-axeln.

0 Rayleigh-flödesmodellen börjar med en differentialekvation som relaterar förändringen i Mach-tal med förändringen i stagnationstemperatur , T. Differentialekvationen visas nedan.

0 Lösning av differentialekvationen leder till relationen som visas nedan, där T * är stagnationstemperaturen vid kanalens strupläge som krävs för att termiskt strypa flödet.

00 Dessa värden är betydande vid konstruktionen av förbränningssystem. Till exempel, om en turbojetförbränningskammare har en maximal temperatur på T * = 2000 K, måste T och M vid ingången till förbränningskammaren väljas så att termisk kvävning inte uppstår, vilket kommer att begränsa massflödet av luft in i motor och minska dragkraften.

För Rayleigh-flödesmodellen visas den dimensionslösa förändringen i entropirelationen nedan.

Ovanstående ekvation kan användas för att plotta Rayleigh-linjen på ett Mach-tal mot ΔS-graf, men den dimensionslösa entalpin, H, kontra ΔS-diagrammet används oftare. Den dimensionslösa entalpi-ekvationen visas nedan med en ekvation som relaterar den statiska temperaturen med dess värde vid chokeplatsen för en kalorimässigt perfekt gas där värmekapaciteten vid konstant tryck, cp , förblir konstant.


Ovanstående ekvation kan manipuleras för att lösa för M som en funktion av H. På grund av formen av T/T*-ekvationen bildas emellertid en komplicerad multirotrelation för M = M(T/T*). Istället kan M väljas som en oberoende variabel där ΔS och H kan matchas upp i ett diagram som visas i figur 1. Figur 1 visar att uppvärmning kommer att öka ett uppströms, subsoniskt Mach-tal tills M = 1,0 och flödesdrosseln . Omvänt, tillsats av värme till en kanal med ett uppströms, överljuds Mach-tal kommer att göra att Mach-talet minskar tills flödet stryps. Kylning ger motsatt resultat för vart och ett av dessa två fall. Rayleigh-flödesmodellen når maximal entropi vid M = 1,0 För subsoniskt flöde uppstår det maximala värdet på H vid M = 0,845. Detta indikerar att kylning, istället för uppvärmning, gör att Mach-talet flyttas från 0,845 till 1,0. Detta är inte nödvändigtvis korrekt eftersom stagnationstemperaturen alltid ökar för att flytta flödet från ett subsoniskt Mach-tal till M = 1, men från M = 0,845 till M = 1,0 accelererar flödet snabbare än värme tillförs det. Därför är detta en situation där värme tillförs men T/T* minskar i det området.

Ytterligare Rayleigh Flow Relations

Ytan och massflödeshastigheten hålls konstant för Rayleigh-flöde. Till skillnad från Fanno-flödet förblir Fanning-friktionsfaktorn, f , konstant. Dessa relationer visas nedan med symbolen * som representerar platsen för halsen där kvävning kan inträffa.

Differentialekvationer kan också utvecklas och lösas för att beskriva Rayleigh-flödesegenskapsförhållanden med avseende på värdena vid kvävningsplatsen. Förhållandena för tryck, densitet, statisk temperatur, hastighet och stagnationstryck visas nedan. De representeras grafiskt tillsammans med ekvationen för stagnationstemperaturförhållandet från föregående avsnitt. En stagnationsegenskap innehåller en "0"-subskript.

Ansökningar

Figur 3 Fanno och Rayleigh linjekorsningsdiagram.

Rayleigh-flödesmodellen har många analytiska användningsområden, framför allt när det gäller flygplansmotorer. Till exempel har förbränningskamrarna inuti turbojetmotorer vanligtvis en konstant yta och bränslemassatillskottet är försumbart. Dessa egenskaper gör Rayleigh-flödesmodellen tillämpbar för värmetillförsel till flödet genom förbränning, förutsatt att värmetillsatsen inte resulterar i dissociation av luft-bränsleblandningen. Att alstra en stötvåg inuti förbränningskammaren i en motor på grund av termisk choking är mycket oönskat på grund av minskningen i massflödeshastighet och dragkraft. Därför är Rayleigh-flödesmodellen avgörande för en initial design av kanalgeometrin och förbränningstemperaturen för en motor.

Rayleigh-flödesmodellen används också flitigt med Fanno-flödesmodellen . Dessa två modeller skär varandra i punkter på entalpi-entropi- och Mach-tal-entropidiagrammen, vilket är meningsfullt för många tillämpningar. Entropivärdena för varje modell är dock inte lika vid ljudtillståndet. Förändringen i entropi är 0 vid M = 1 för varje modell, men föregående påstående betyder att förändringen i entropi från samma godtyckliga punkt till ljudpunkten är annorlunda för Fanno- och Rayleigh-flödesmodellerna. Om initiala värden för si och Mi definieras , kan en ny ekvation för dimensionslös entropi kontra Mach-tal definieras för varje modell. Dessa ekvationer visas nedan för Fanno- respektive Rayleigh-flöde.

Figur 3 visar Rayleigh- och Fanno-linjerna som skär varandra för initiala förhållanden på s i = 0 och M i = 3,0. Skärningspunkterna beräknas genom att likställa de nya dimensionslösa entropi-ekvationerna med varandra, vilket resulterar i relationen nedan.

Skärningspunkterna inträffar vid det givna initiala Mach-talet och dess postnormala stötvärde . För figur 3 är dessa värden M = 3,0 och 0,4752, vilket kan hittas i de normala stöttabellerna som listas i de flesta läroböcker för komprimerbart flöde. Ett givet flöde med konstant kanalarea kan växla mellan Rayleigh- och Fanno-modellerna vid dessa punkter.

Se även

  • Strutt, John William (Lord Rayleigh) (1910). "Flygplansvågor med ändliga amplituder" . Proc. R. Soc. Lond. A . 84 (570): 247–284. doi : 10.1098/rspa.1910.0075 . , även i:
  •   Zucker, Robert D.; Biblarz O. (2002). "Kapitel 10. Rayleigh flow". Grunderna i gasdynamik . John Wiley & Sons . s. 277–313. ISBN 0-471-05967-6 .
  •   Shapiro, Ascher H. (1953). Dynamiken och termodynamiken för komprimerbart vätskeflöde, volym 1 . Ronald Press. ISBN 978-0-471-06691-0 .
  •   Hodge, BK; Koenig K. (1995). Kompressibel vätskedynamik med persondatorapplikationer . Prentice Hall . ISBN 0-13-308552-X .
  •   Emanuel, G. (1986). "Kapitel 8.2 Rayleigh-flöde". Gasdynamik: teori och tillämpningar . AIAA . s. 121–133. ISBN 0-930403-12-6 .

externa länkar