Rang av en elliptisk kurva

I matematik är rangordningen för en elliptisk kurva den rationella Mordell–Weil -graden för en elliptisk kurva $E$ definierad över fältet av rationella tal . Mordells teorem säger att gruppen av rationella punkter på en elliptisk kurva har en ändlig grund . Detta betyder att det för varje elliptisk kurva finns en ändlig delmängd av de rationella punkterna på kurvan, från vilken alla ytterligare rationella punkter kan genereras. Om antalet rationella punkter på en kurva är oändligt måste någon punkt i en ändlig grund ha oändlig ordning . Antalet oberoende baspunkter med oändlig ordning är kurvans rangordning .

Rangen är relaterad till flera framstående problem inom talteorin , mest noterbart Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan . Det är allmänt trott att det inte finns någon maximal rang för en elliptisk kurva, och det har visat sig att det finns kurvor med rang så stor som 28, men det är allmänt trott att sådana kurvor är sällsynta. Faktum är att Goldfeld och senare Katz – Sarnak gissade att i en lämplig asymptotisk mening (se nedan ) borde rangordningen för elliptiska kurvor vara 1/2 i genomsnitt. Med andra ord bör hälften av alla elliptiska kurvor ha rang 0 (vilket betyder att den oändliga delen av dess Mordell–Weil-grupp är trivial) och den andra hälften ska ha rang 1; alla återstående rangordningar består av totalt 0 % av alla elliptiska kurvor.

höjder

Mordell–Weils sats visar att $E(\mathbb {Q} )$ är en ändligt genererad abelsk grupp, alltså ${\displaystyle E( \mathbb {Q} )\cong E(\mathbb {Q} )_{tors}\times \mathbb {Z} ^{r}} där E ($ Q $E(\mathbb {Q } )_{tors}}$ är den ändliga torsionsundergruppen och r är rangordningen för den elliptiska kurvan.

För att få en rimlig uppfattning om 'genomsnitt' måste man kunna räkna elliptiska kurvor $E/\mathbb {Q}$ på något sätt. Detta kräver införandet av en höjdfunktion på uppsättningen av rationella elliptiska kurvor. För att definiera en sådan funktion, kom ihåg att en rationell elliptisk kurva $E/\mathbb {Q}$ kan ges i termer av en Weierstrass-form , det vill säga vi kan skriva

$E:y^{2}=x^{3}+Ax+B$

för vissa heltal $A,B$ . Dessutom är denna modell unik om för något primtal $p$ så att $p^{4}$ delar $A$ , vi har $p^{ 6}\nmid B$ . Vi kan då anta att $A,B$ är heltal som uppfyller denna egenskap och definierar en höjdfunktion på uppsättningen elliptiska kurvor $E/\mathbb {Q}$ av

$H(E)=H(E(A,B))=\max\{4|A|^{3},27B^{2}\}.$

Det kan då visas att antalet elliptiska kurvor $E/\mathbb {Q}$ med begränsad höjd $H(E)$ är ändlig.

Genomsnittlig ranking

Vi betecknar med $r(E)$ Mordell–Weil-rangen för den elliptiska kurvan $E/\mathbb {Q}$ . Med höjdfunktionen $H(E)$ i hand kan man sedan definiera "genomsnittlig rang" som en gräns, förutsatt att den finns:

$\lim _{X\högerpil \infty }{\frac {\summa _{H(E(A,B))\leq X}r(E)}{\summa _{H(E(A, B))\leq X}1}}.$

Det är inte känt om denna gräns finns eller inte. Men genom att ersätta gränsen med gränsen överlägsen kan man få en väldefinierad kvantitet. Att erhålla uppskattningar för denna kvantitet är därför att erhålla övre gränser för storleken på den genomsnittliga rangordningen för elliptiska kurvor (förutsatt att ett medelvärde finns).

Övre gränser för den genomsnittliga rangen

Under de senaste två decennierna har det gjorts vissa framsteg mot uppgiften att hitta övre gränser för den genomsnittliga rangordningen. A. Brumer visade att, beroende på Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan och den generaliserade Riemann-hypotesen, att man kan få en övre gräns på $2,3$ för den genomsnittliga rangordningen. Heath-Brown visade att man kan få en övre gräns på $2$ , fortfarande med samma två gissningar. Slutligen visade Young att man kan få en gräns på $25/14$ displaystyle antar fortfarande båda gissningarna.

Bhargava och Shankar visade att den genomsnittliga rangordningen för elliptiska kurvor är gränsad ovanför av $1,5$ och ${\frac {7}{6}}$ utan att anta vare sig Birch-Swinnerton-Dyer-förmodan eller Generaliserad Riemann-hypotes. Detta uppnås genom att beräkna medelstorleken för $2$ -Selmer och $3$ - Selmergrupper av elliptiska kurvor $E/\mathbb {Q}$ respektive.

Bhargava och Shankars tillvägagångssätt

Bhargava och Shankars ovillkorliga bevis för avgränsningen av den genomsnittliga rangordningen av elliptiska kurvor erhålls genom att använda en viss exakt sekvens som involverar Mordell-Weil-gruppen i en elliptisk kurva $E/\mathbb {Q}$ . Beteckna med $E(\mathbb {Q} )$ Mordell-Weil-gruppen av rationella punkter på den elliptiska kurvan ${\displaystyle E} ,$ Sel $\displaystyle \operatorname {Sel } _{p}(E)}$ p $p$ -Selmer-gruppen av $E$ , och låt Ш ${\displaystyle {}_{E}[p]$ beteckna $p$ -del av Tate–Shafarevich-gruppen av $E$ . Då har vi följande exakta sekvens

$0\rightarrow E(\mathbb {Q} )/pE(\mathbb {Q} )\rightarrow \operatörsnamn {Sel} _ {p}(E)\högerpil$ Ш ${}_{E}[p]\högerpil 0.$

Detta visar att rangordningen för $\operatorname {Sel} _{p}(E)$ , även kallad $p$ -Selmer-rankningen av $E$ , definierad som det icke-negativa heltal $s$ så att ${\displaystyle \#\operatörsnamn {Sel} _{p}(E)=p^{s}} ,$ är en övre gräns för Mordell-Weil rang $r$ av $E(\mathbb {Q} )$ . Därför, om man kan beräkna eller erhålla en övre gräns på $p$ -Selmer rank av $E$ , då skulle man kunna binda Mordell-Weil-rankningen i genomsnitt också.

I binära kvartsformer som har avgränsade invarianter och avgränsningen av den genomsnittliga rangordningen av elliptiska kurvor, beräknade Bhargava och Shankar 2-Selmer-rangen för elliptiska kurvor i genomsnitt. De gjorde det genom att räkna binära kvartsformer , med en metod som användes av Birch och Swinnerton-Dyer i deras ursprungliga beräkning av den analytiska rangordningen för elliptiska kurvor som ledde till deras berömda gissningar.

Största kända leden

En vanlig gissning är att det inte finns någon gräns för största möjliga rang för en elliptisk kurva. År 2006 Noam Elkies en elliptisk kurva med en rang på minst 28:

y ² + xy + y = x ³ − x ² − 20 067 762 415 575 526 585 033 208 338 542 750 930 230 467 032 985 956 302 690 390 720 374 312 178 209 5 502 302 x 5 944 359 _ _ 319 180 361 266 008 296 291 939 448 732 243 429 x 855

År 2020 upptäckte Elkies och Zev Klagsbrun en kurva med en rankning på exakt 20:

y ² + xy + y = x ³ − x ² -

244 537 673 336 319 601 463 803 487 769 573 821 859 853 707 710 182 42 5 961 053 9 28 9 28 9 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931 168 961 270 757 x +