Racah W-koefficient

Racahs W-koefficienter introducerades av Giulio Racah 1942. Dessa koefficienter har en rent matematisk definition. Inom fysiken används de i beräkningar som involverar den kvantmekaniska beskrivningen av rörelsemängd , till exempel inom atomteorin .

Koefficienterna visas när det finns tre källor till rörelsemängd i problemet. Betrakta till exempel en atom med en elektron i en s-orbital och en elektron i en p-orbital . Varje elektron har elektronspin- momentum och dessutom har p-orbitalen orbital rörelsemängd (en s-orbital har noll omloppsrörelsemängd). Atomen kan beskrivas genom LS- koppling eller genom jj -koppling som förklaras i artikeln om rörelsemängdskoppling . Transformationen mellan vågfunktionerna som motsvarar dessa två kopplingar involverar en Racah W-koefficient.

Förutom en fasfaktor är Racahs W-koefficienter lika med Wigners 6-j-symboler , så alla ekvationer som involverar Racahs W-koefficienter kan skrivas om med 6- j -symboler. Detta är ofta fördelaktigt eftersom symmetriegenskaperna för 6- j -symboler är lättare att komma ihåg.

Vinkelmoment i Racah W-koefficienterna. Den övre delen är en 2d-plansprojektion som en fyrhörning, den nedre är ett 3d-tetraedriskt arrangemang.

Racah-koefficienter är relaterade till återkopplingskoefficienter med

$W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3} )J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23} +1)}}}.$

Återkopplingskoefficienter är delar av en enhetlig transformation och deras definition ges i nästa avsnitt. Racah-koefficienter har mer bekväma symmetriegenskaper än återkopplingskoefficienterna (men mindre bekväma än 6- j -symbolerna).

Återkopplingskoefficienter

Koppling av två vinkelmoment $\mathbf {j} _{1}$ och $\mathbf {j} _{2}$ är konstruktionen av samtidiga egenfunktioner av $\mathbf {J} ^{2}$ och $J_{z}$ , där $\mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf { j} _{2}$ , som förklaras i artikeln om Clebsch–Gordan-koefficienter . Resultatet är

$|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\summa _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\summa _{m_{ 2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{ 2}m_{2}|JM\rangle ,$

där $\displaystyle J=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}}$$M=-J,\ldots,J$ och .

Koppling av tre vinkelmoment $\mathbf {j} _{1}$ , $\mathbf {j} _{2}$ och $\mathbf {j} _{ 3}$ , kan göras genom att först koppla $\mathbf {j} _{1}$ och $\mathbf {j} _{2}$ till $\mathbf { J} _{12}$ och nästa koppling $\mathbf {J} _{12}$ och $\mathbf {j} _{3}$ till totalt rörelsemängd $\ mathbf {J}$ :

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\summa _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{ 12}}\summa _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3 }m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle$

Alternativt kan man först koppla $\mathbf {j} _{2}$ och $\mathbf {j} _{3}$ till $\mathbf {J} _{ 23}$ och nästa par $\mathbf {j} _{1}$ och $\mathbf {J} _{23}$ till $\mathbf {J}$ :

$|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\summa _{m_{1}=-j_{1}}^{j_ {1}}\summa _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{ 23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle$

Båda kopplingsscheman resulterar i fullständiga ortonormala baser för $(2j_{1}+1)(2j_{2}+1) (2j_{3}+1)$ dimensionellt utrymme spänner över

$|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1 },\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,J 3}.$

Därför är de två totala vinkelmomentbaserna relaterade till en enhetlig transformation. Matriselementen i denna enhetliga transformation ges av en skalär produkt och är kända som återkopplingskoefficienter. Koefficienterna är oberoende av $M$ och så har vi

$|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\summa _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_ {3})J_{23})JM\rangle \langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{ 12}j_{3})J\rangle .$

Oberoendet av $M$ följer lätt genom att skriva denna ekvation för $M=J$ och tillämpa den sänkande operatorn $J_{-}$ på båda sidor av ekvationen.

Algebra

Låta

$\Delta (a,b,c)=[(a+bc)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1 )!]^{1/2}$

vara den vanliga triangulära faktorn, så är Racah-koefficienten en produkt av fyra av dessa med en summa över faktorialer,

$W(abcd;ef)=\Delta (a,b,e)\Delta (c,d,e)\Delta (a,c,f)\Delta (b,d,f)w (abcd;ef)$

var

$w(abcd;ef)\equiv \sum _{z}{\frac {(-1)^{z+\beta _{1}}(z+1)!}{(z-\alpha _{ 1})!(z-\alpha _{2})!(z-\alpha _{3})!(z-\alpha _{4})!(\beta _{1}-z)!(\ beta _{2}-z)!(\beta _{3}-z)!}}$

och

$\alpha _{1}=a+b+e;\quad \beta _{1}=a+b+c+d;$

$\alpha _{2}=c+d+e;\quad \beta _{2}=a+d+e+f;$

$\alpha _{3}=a+c+f;\quad \beta _{3}=b+c+e+f;$

$\alpha _{4}=b+d+f.$

Summan över $z$ är ändlig över intervallet

$\max(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})\leq z\leq \min(\beta _{1},\ beta _{2},\beta _{3}).$

Relation till Wigners 6-j symbol

Racahs W-koefficienter är relaterade till Wigners 6-j-symboler , som har ännu mer bekväma symmetriegenskaper

$W(abcd;ef)(-1)^{a+b+c+d}={\begin{Bmatrix}a&b&e\\d&c&f\end{Bmatrix}}.$

Jfr. eller

$W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+J }{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&J_{12}\\j_{3}&J&J_{23}\end{Bmatrix}}.$

Se även

• Clebsch–Gordanska koefficienter
• 3-j symbol
• 6-j symbol
• Pandyas teorem

Vidare läsning

•   Edmonds, AR (1957). Vinkelmoment i kvantmekanik . Princeton, New Jersey: Princeton University Press . ISBN 0-691-07912-9 .
•   Condon, Edward U.; Shortley, GH (1970). "Kapitel 3" . Theory of Atomic Spectra . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-09209-4 .
•   Messiah, Albert (1981). Quantum Mechanics (Volume II) (12:e upplagan). New York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7 .
• Sato, Masachiyo (1955). "Allmän formel för Racah-koefficienten" . Framsteg inom teoretisk fysik . 13 (4): 405–414. Bibcode : 1955PThPh..13..405S . doi : 10.1143/PTP.13.405 .
•   Brink, DM; Satchler, GR (1993). "Kapitel 2" . Angular Momentum (3:e upplagan). Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9 .
•   Zare, Richard N. (1988). "Kapitel 2". Vinkelmomentum . New York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7 .
•   Biedenharn, LC; Louck, JD (1981). Vinkelmomentum i kvantfysik . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley . ISBN 0-201-13507-8 .

externa länkar

• "Racah-Wigner koefficienter" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]