Rätt grupp

Inom matematiken är en högergrupp en algebraisk struktur som består av en mängd tillsammans med en binär operation som kombinerar två element till ett tredje element samtidigt som man lyder rätt gruppaxiom . De högra gruppens axiom liknar gruppaxiomen , men medan grupper bara kan ha en identitet och vilket element som helst kan ha endast en invers, tillåter högergrupper flera ensidiga identitetselement och flera ensidiga inversa element .

Det kan bevisas (sats 1.27 i ) att en rätt grupp är isomorf till den direkta produkten av en rätt noll-semigrupp och en grupp , medan en rätt abelisk grupp är den direkta produkten av en rätt noll-semigrupp och en abelisk grupp . Vänster grupp och vänster abelisk grupp definieras på analogt sätt, genom att ersätta höger med vänster i definitionerna. Resten av den här artikeln kommer mest att handla om högergrupper, men allt gäller vänstergrupper genom att göra lämpliga höger/vänstersubstitutioner.

Definition

En högergrupp , ursprungligen kallad multipelgrupp , är en uppsättning $R$ med en binär operation ⋅, som uppfyller följande axiom:

Stängning: För alla $a$ och $b$ i $R$ finns ett element c i $R$ så att $c=a\ cdot b$ .
Associativitet: För alla $a,b,c$ i $R$ , $(a\cdot b)\ cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ .
Vänster identitetselement: Det finns minst en vänsteridentitet i $R$ . Det vill säga, det finns ett element $e$ så att $e\cdot a=a$ för alla $a$ i $R$ . Ett sådant element behöver inte vara unikt.
Höger inversa element: För varje $a$ i $R$ och varje identitetselement $e$ , även i $R$ , finns det minst ett element $b$ i $R$ , så att $a\cdot b=e$ . Sådant element $b$ sägs vara den högra inversen av $a$ med avseende på $e$ .

Exempel

Direkt produkt av ändliga mängder

Följande exempel tillhandahålls av. Ta gruppen $G=\{e,a,b\}$ , den högra nollhalvgruppen $Z=\{1,2\ }$ och konstruera en rätt grupp $R_{gz}$ som den direkta produkten av $G$ och $Z$ .

$G$ är helt enkelt den cykliska gruppen av ordning 3, med $e$ som sin identitet, och $a$ och $b$ som inverser av varandra.

$G$ tabell
	e	a	b
e	e	a	b
a	a	b	e
b	b	e	a

$Z$ är den högra noll-semigruppen av ordning 2. Lägg märke till att varje element upprepas längs sin kolumn, eftersom per definition $x\cdot y=y$ , för alla $x$ och $y$ i $Z$ .

$Z$ tabell
	1	2
1	1	2
2	1	2

Den direkta produkten $R_{gz}=G\ gånger Z$ av dessa två strukturer definieras enligt följande:

Elementen i $R_{gz}$ är ordnade par $(g,z)$ så att $g$ är i $G$ och $z$ är i $Z$ .
Operationen $R_{gz}$ definieras elementmässigt:

 Formel 1:  $(x,y)\cdot (u,v)=(xu,v)$

Elementen i $R_{gz}$ kommer att se ut som $(e,1),(e,2),( a,1)$ och så vidare. För korthetens skull döper vi om dessa till $e_{1}, e_{2}, a_{1}$ och så vidare. Cayley -tabellen för $R_{gz}$ är som följer:

$R_{gz}$ tabell
	e ₁	en ₁	b ₁	e ₂	en ₂	b ₂
e ₁	e ₁	en ₁	b ₁	e ₂	en ₂	b ₂
en ₁	en ₁	b ₁	e ₁	en ₂	b ₂	e ₂
b ₁	b ₁	e ₁	en ₁	b ₂	e ₂	en ₂
e ₂	e ₁	en ₁	b ₁	e ₂	en ₂	b ₂
en ₂	en ₁	b ₁	e ₁	en ₂	b ₂	e ₂
b ₂	b ₁	e ₁	en ₁	b ₂	e ₂	en ₂

Här är några fakta om $R_{gz}$ :

$R_{gz}$ $R_{gz}$ har två vänsteridentiteter: $e_{1}$ $e_{1}$ och $e_{2}$ $e_{2}$ . Några exempel:
- $e2\cdot b1=b1$
- $e1\cdot a2=a2$
Varje element har två högra inverser. Till exempel $b_{1 }$ $b_{1}$ de högra inverserna av $a_{2}$ $a_{2}$ med avseende på $e_{1}$ $e_{1}$ och $e_{2}$ $e_{2}$ b respektive $b_{2}$ $b_{2}$ .
- $a2\cdot b1=e1$
- $a2\cdot b2=e2$

Komplexa tal i polära koordinater

Clifford ger ett andra exempel som involverar komplexa tal . Med tanke på två komplexa tal a och b som inte är noll , bildar följande operation en rätt grupp:

 $a\cdot b=|a|\,b$

Alla komplexa tal med modul lika med 1 är vänsteridentiteter, och alla komplexa tal kommer att ha en högerinvers med avseende på vilken vänsteridentitet som helst.

Den inre strukturen av denna högra grupp blir tydlig när vi använder polära koordinater : låt $a=Ae^{i\alpha }$ och $b=Be^{ i\beta }$ , där A och B är magnituderna och $\alpha$ och $\beta$ är argumenten (vinklarna) för a respektive b . $a\cdot b$ (detta är inte den vanliga multiplikationen av komplexa tal) blir då $Ae^{i\alpha }\ cdot Be^{i\beta }=ABe^{i\beta }$ . Om vi representerar storleken och argumenten som ordnade par, kan vi skriva detta som:

 Formel 2:  $(A,\alpha )\cdot (B,\beta )=(AB,\beta )$

Denna högra grupp är den direkta produkten av en grupp (positiva reella tal under multiplikation) och en högra noll-halvgrupp inducerad av de reella talen. Strukturellt sett är detta identiskt med formel 1 ovan. Faktum är att det är så här alla rätt gruppoperationer ser ut när de skrivs som ordnade par av den direkta produkten av deras faktorer.

Komplexa tal i kartesiska koordinater

Om vi tar och komplexa tal och definierar en operation som liknar exempel 2 men använder kartesiska istället för polära koordinater och addition istället för multiplikation, får vi en annan rätt grupp, med operationen definierad enligt följande:

  ${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=a+c+di} ,$  eller motsvarande: Formel 3:  $(a,b)\cdot (c,d)=(a+c,d)$

Ett praktiskt exempel från datavetenskap

Betrakta följande exempel från datavetenskap, där en uppsättning skulle implementeras som en programmeringsspråkstyp .

Låt $X$ vara uppsättningen av datumtider i ett godtyckligt programmeringsspråk.
Låt $D$ vara den mängd transformationer som motsvarar att lägga till en varaktighet till ett element av $X$ .
Låt $Z$ vara uppsättningen av tidszonstransformationer på element av $X$ .

Både $D$ och $Z$ är delmängder av ${\displaystyle T_{x}} ,$ den fullständiga transformationssemigruppen på $X$ . $D$ beter sig som en grupp , där det finns en varaktighet på noll och varje varaktighet har en omvänd varaktighet. Om vi behandlar dessa transformationer som högra halvgruppsåtgärder , beter sig $Z$ som en höger noll-semigrupp , så att en tidszonstransformation alltid avbryter alla tidigare tidszonstransformationer på en given tidpunkt.

Med tanke på två godtyckliga datumtider $a$ och $b$ (ignorera problem gällande representationsgränser), kan man hitta ett par av en varaktighet och en tidszon som omvandlar $a$ till $b$ . Denna sammansatta transformation av tidszonsomvandling och varaktighetsaddition är isomorf till den högra gruppen $D\times Z$ .

Om man tar paketet java.time som ett exempel, skulle uppsättningarna $X,D$ och $Z$ motsvara klassen ZonedDateTime , funktionen plus respektive funktionen withZoneSameInstant . Mer konkret, för alla ZonedDateTime t 1 och t 2, finns det en Duration d och en ZoneId z , så att:

t2 = t1.plus(d).withZoneSomeInstant(z)

Uttrycket ovan kan skrivas mer koncist med hjälp av rätt handlingsnotation lånad från gruppteorin som:

 $t2=t1.dz$

Det kan också verifieras att varaktigheter och tidszoner, när de ses som transformationer på datum/tider, förutom att de följer axiomen för grupper respektive högra noll-semigrupper, pendlar de med varandra. Det vill säga för vilket datum/tid som helst t, vilken varaktighet som helst d och vilken tidszon som helst:

 $tdz=tzd$

Detta är samma sak som att säga:

 $d\cdot z=z\cdot d$