Pseudoelementär klass

I logik är en pseudoelementär klass en klass av strukturer som härleds från en elementär klass (en som kan definieras i första ordningens logik ) genom att utelämna några av dess sorter och relationer. Det är den matematiska logikens motsvarighet till begreppet i kategoriteorin om ( samdomänen för) en glömsk funktor , och i fysiken av (hypotesiserade) dolda variabla teorier som utger sig för att förklara kvantmekaniken . Elementära klasser är (vakuöst) pseudoelementära men det omvända är inte alltid sant; inte desto mindre delar pseudoelementära klasser några av egenskaperna hos elementära klasser som att vara stängda under ultraprodukter .

Definition

En pseudoelementär klass är en reduktion av en elementär klass . Det vill säga, det erhålls genom att utelämna några av sorterna och relationerna i en (mångasorterad) elementär klass.

Exempel

Teorin med jämlikhet av mängder under union och skärning, vars strukturer är av formen ( W , ∪, ∩), kan naivt förstås som den pseudoelementära klassen som bildas av den tvåsorterade elementära klassen av strukturer i formen ( A , W , ∪, ∩, ∈) där ∈ ⊆ A × W och ∪ och ∩ är binära operationer ( kvartära relationer) på W . Teorin för den senare klassen axiomatiseras av

∀ X,Y ∈ W .∀ a ∈ A [ a ∈ X ∪ Y ⇔ a ∈ X ∨ a ∈ Y ]

. ∀ X,Y ∈ W .∀ a ∈ A . ∈ X ∩ Y ⇔ a ∈ X ∧ a ∈ Y ]

∀ X,Y ∈ W .[ (∀ a ∈ A .[ a ∈ X ⇔ a ∈ Y ]) → X = Y ]

I den avsedda tolkningen är A en mängd av atomerna a,b ,..., W är en mängd mängder atomer X,Y,... och ∈ är medlemsrelationen mellan atomer och mängder. Konsekvenserna av dessa axiom inkluderar alla lagar för distributionsgitter . Eftersom de sistnämnda lagarna inte nämner atomer förblir de meningsfulla för strukturerna som erhålls från modellerna av ovanstående teori genom att utelämna A och medlemskapsrelationen ∈. Alla distributiva gitter kan representeras som uppsättningar av mängder under union och skärning, varav denna pseudoelementära klass i själva verket är en elementär klass, nämligen variationen av distributiva gitter. I detta exempel är båda klasserna (respektive före och efter utelämnandet) ändligt axiomatiserbara elementära klasser. Men medan standardmetoden för att axiomatisera den senare klassen använder nio ekvationer för att axiomatisera ett distributivt gitter, kräver den förra klassen bara de tre axiomen ovan, vilket gör det snabbare att definiera den senare klassen som en reduktion av den förra än direkt på vanligt sätt.
Teorin med likhet av binära relationer under förening R ∪ S , skärningspunkt R ∩ S , komplement R ⁻ , relationell sammansättning R ; S , och relationskonverse R ^{${\breve {\ }}$} , vars strukturer är av formen ( W , ∪, ∩, −, ;, ^{${\displaystyle {\breve {\ }}} )$} , kan förstås som den pseudoelementära klassen som bildas av den tresorterade elementära klassen av strukturer i formen ( A , P , W , ∪, ∩, −, ;, ^{${\breve {\ }}$} , λ, ρ, π, ∈). Den avsedda tolkningen av de tre sorterna är atomer, par av atomer och uppsättningar av par av atomer, π: A ×; A → P och λ,ρ: P → A är de uppenbara parningskonstruktörerna och destruktörerna, och ∈ ⊆ P ×; W är medlemskapsrelationen mellan par och relationer (som uppsättningar av par). I analogi med exempel 1 kan de rent relationella bindemedel som definieras på W axiomatiseras naivt i termer av atomer och atompar på vanligt sätt i inledande texter. Den rena teorin om binära relationer kan sedan erhållas som teorin om den pseudoelementära klassen av redukter av modeller av denna elementära klass som erhålls genom att utelämna atom- och parsorterna och alla relationer som involverar de utelämnade sorterna. I det här exemplet är båda klasserna elementära, men bara den förra klassen är finitely axiomatizable, även om den senare klassen (redukten) visades av Tarski 1955 för att ändå vara en variation , nämligen RRA , den representerbara relationen algebras .
En primitiv ring är en generalisering av begreppet enkel ring . Det är definierbart i elementärt (första ordningens) språk i termer av element och ideal i en ring, vilket ger upphov till en elementär klass av tvåsorterade strukturer som omfattar ringar och ideal. Klassen av primitiva ringar erhålls från denna elementära klass genom att utelämna de sorter och språk som förknippas med idealen, och är därför en pseudoelementär klass. I detta exempel är det en öppen fråga om denna pseudoelementära klass är elementär.
Klassen av exponentiellt stängda fält är en pseudoelementär klass som inte är elementär.

Ansökningar

En kvasivarietitet som logiskt definieras som klassen av modeller för en universell Hornteori kan på motsvarande sätt definieras algebraiskt som en klass av strukturer slutna under isomorfismer , subalgebras och reducerade produkter . Eftersom begreppet reducerad produkt är mer invecklat än direkt produkt , är det ibland användbart att blanda de logiska och algebraiska karakteriseringarna i termer av pseudoelementära klasser. En sådan blandad definition karakteriserar en kvasivarietet som en pseudoelementär klass sluten under isomorfismer, subalgebras och direkta produkter (den pseudoelementära egenskapen gör att "reducerad" kan förenklas till "direkt").

En följd av denna karaktärisering är att man (icke-konstruktivt) kan bevisa existensen av en universell hornaxiomatisering av en klass genom att först axiomatisera en viss expansion av strukturen med hjälpsorter och -relationer och sedan visa att den pseudoelementära klassen som erhålls genom att släppa hjälpkonstruktionerna är stängd under subalgebra och direkta produkter. Den här tekniken fungerar för exempel 2 eftersom subalgebror och direkta produkter av algebror av binära relationer i sig själva är algebror av binära relationer, vilket visar att klassen RRA för representativa relationsalgebror är en kvasivarietet (och a fortiori en elementär klass). Detta korta bevis är en effektiv tillämpning av abstrakt nonsens ; det starkare resultatet av Tarski att RRA i själva verket är en sort krävde mer ärlig möda.

Paul C. Eklof (1977), Ultraproducts for Algebraists, i Handbook of Mathematical Logic (red. Jon Barwise ), North-Holland.