Reducerad produkt

För den reducerade produkten i algebraisk topologi, se James reducerad produkt .

I modellteorin , en gren av matematisk logik , och i algebra är den reducerade produkten en konstruktion som generaliserar både direkt produkt och ultraprodukt .

Låt { S _i | i ∈ I } vara en familj av strukturer med samma signatur σ indexerad med en mängd I , och låt U vara ett filter på I . Den reducerade produktens domän är kvoten av den kartesiska produkten

$\prod _{i\in I}S_{i}$

genom ett visst ekvivalensförhållande ~: två element ( bi _a i ₎ och ( ) i den kartesiska produkten är likvärdiga om

$\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U$

Om U bara innehåller I som ett element är ekvivalensrelationen trivial, och den reducerade produkten är bara den ursprungliga kartesiska produkten. Om U är ett ultrafilter är den reducerade produkten en ultraprodukt.

Operationer från σ tolkas på den reducerade produkten genom att tillämpa operationen punktvis. Relationer tolkas av

$R((a_{i}^{1})/{\sim },\dots ,(a_{i}^{n})/{\sim })\iff \{i\in I\mid R^{S_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\}\in U.$

Till exempel, om varje struktur är ett vektorrum , då är den reducerade produkten ett vektorrum med addition definierad som ( a + b ) _i = a _i + bi _och multiplikation med en skalär c som ( ca ) _i = ca _i .

•   Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Modellteori . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3:e uppl.). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3 . , Kapitel 6.