Priestley utrymme

I matematik är ett Priestley-rum ett ordnat topologiskt rum med speciella egenskaper. Priestley-utrymmen är uppkallade efter Hilary Priestley som introducerade och undersökte dem. Priestley-rum spelar en grundläggande roll i studiet av distributiva gitter . I synnerhet finns det en dualitet (" Priestley-dualitet ") mellan kategorin Priestley-utrymmen och kategorin avgränsade distributionsgitter.

Definition

Ett Priestley-rum är ett ordnat topologiskt utrymme $(X, τ, \leq )$ , dvs en mängd $X$ utrustad med en partiell ordning $\leq$ och en topologi $τ$ , som uppfyller följande två villkor:

$(X, τ)$ är kompakt .
Om ${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y} ,$ så finns det en clopen up-set $U$ av $X$ så att $x \in U$ och $y \notin U$ . (Detta tillstånd är känt som Priestleys separationsaxiom .)

Egenskaper för Priestley-utrymmen

Varje Priestley-utrymme är Hausdorff . Givet två punkter $x, y$ av ett Priestley-mellanslag $(X, τ,\leq)$ , om $x \neq y$ , då som $\leq$ är en partiell ordning, antingen $\scriptstyle x\,\not \leq \ ,y$ eller $\scriptstyle y\,\not \leq \,x$ . Om man antar, utan förlust av allmänhet, att ${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y} ,$ (ii) ger en clopen up-set $U$ av $X$ så att $x \in U$ och $y \notin U$ . Därför $U$ och $V = X - U$ disjunkta öppna delmängder av $X$ som separerar $x$ och $y$ .
Varje Priestley-rum är också nolldimensionellt ; det vill säga varje öppet område $U$ i en punkt $x$ i ett Priestley-rum $(X, τ,\leq)$ innehåller ett clopen-område $C$ av $x$ . För att se detta går man tillväga enligt följande. För varje $y \in X - U$ , antingen $\scriptstyle x\,\not \leq \,y$ eller $\scriptstyle y\,\not \leq \,x$ . Enligt Priestley-separationsaxiomet finns det en clopen up-set eller en clopen down-set som innehåller $x$ och saknar $y$ . Skärningspunkten mellan dessa clopen-kvarter av $x$ möter inte $X - U$ . Därför, eftersom $X$ är kompakt, finns det en finit skärningspunkt mellan dessa clopen-kvarter av $x som$ saknar $X - U$ . Denna finita skärningspunkt är det önskade clopen-området $C$ av $x$ som finns i $U$ .

Det följer att för varje Priestley-rum $(X, τ,\leq) ,$ är det topologiska rummet $(X, τ) ett$ stenrum ; det vill säga det är ett kompakt Hausdorff nolldimensionellt utrymme.

Några ytterligare användbara egenskaper hos Priestley-utrymmen listas nedan.

Låt $(X, τ,\leq)$ vara ett Priestley-mellanslag.

(a) För varje sluten delmängd

F

av

X är

både

↑ F = {x \in X : y \leq x för vissa y \in F}

och

↓ F = {x \in X : x \leq y för vissa y \in F}

slutna delmängder av

X.

_

(b) Varje öppen uppsättning av

X

är en förening av clopen-uppsättningar av

X och

varje öppen uppsättning av

X

är en förening av clopen-nedsättningar av

X.

(c) Varje sluten uppsättning av

X

är en skärningspunkt av clopen-uppsättningar av

X och

varje sluten uppsättning av

X

är en skärning av clopen-nedsättningar av

X.

(d) Clopen up-set och clopen down-set av

X

bildar en delbas för

(X, τ)

.

(e) För varje par av slutna delmängder

F

och

G

av

X

, om

↑ F \cap ↓ G = \emptyset

, så finns det en clopen up-set

U

så att

F \subseteq U

och

U \cap G = \emptyset

.

En Priestley-morfism från ett Priestley-rum $(X, τ,\leq)$ till ett annat Priestley-rum $(X', τ',\leq')$ är en karta $f : X \to X'$ som är kontinuerlig och ordningsbevarande .

Låt Pries beteckna kategorin Priestley-rum och Priestley-morfismer.

Samband med spektralrum

Priestley utrymmen är nära besläktade med spektral utrymmen . För ett Priestley-mellanslag $(X, τ,\leq)$ , låt $τ u$ beteckna samlingen av alla öppna uppsättningar av $X$ . På liknande sätt, låt $τ d$ beteckna samlingen av alla öppna ned-uppsättningar av $X$ .

Sats: Om $(X, τ,\leq)$ är ett Priestley-rum, så är både $(X, τ u)$ och $(X, τ d)$ spektralrum.

Omvänt, givet ett spektralutrymme $(X, τ)$ , låt $τ #$ beteckna patchtopologin på $X$ ; det vill säga topologin som genereras av subbasen bestående av kompakta öppna delmängder av ( $X, τ) och$ deras komplement . Låt också $\leq$ beteckna specialiseringsordningen för $(X, τ)$ .

Sats: Om $(X, τ)$ är ett spektralrum, så är $(X, τ #,\leq)$ ett Priestley-rum.

Faktum är att denna överensstämmelse mellan Priestley-rymden och spektralrymden är funktionell och ger en isomorfism mellan Pries och kategorin Spec av spektralrum och spektralkartor .

Samband med bitopologiska utrymmen

Priestley-utrymmen är också nära besläktade med bitopologiska utrymmen .

Sats: Om $(X, τ,\leq)$ är ett Priestley-rum, så är $(X, τ u, τ d) ett$ parvis stenrum . Omvänt, om $(X, τ 1, τ 2)$ är ett parvis stenutrymme, så är $(X, τ,\leq)$ ett Priestley-rum, där $τ$ är sammanfogningen av $τ 1$ och $τ 2$ och $\leq$ är specialiseringsordningen för $(X, τ 1)$ .

Överensstämmelsen mellan Priestley-utrymmen och parvisa stenutrymmen är funktionell och ger en isomorfism mellan kategorin Pries of Priestley-utrymmen och Priestley-morfismer och kategorin PStone av parvisa stenutrymmen och bikontinuerliga kartor .

Således har man följande isomorfismer av kategorier:

$\displaystyle \mathbf {Spec} \cong \mathbf {Pries} \cong \mathbf {PStone} }$

En av de huvudsakliga konsekvenserna av dualitetsteorin för distributiva gitter är att var och en av dessa kategorier är dubbelt ekvivalent med kategorin avgränsade distributionsgitter .

Se även

Anteckningar

Priestley, HA (1970). "Representation av fördelningsgaller med hjälp av ordnade stenutrymmen". Tjur. London Math. Soc . 2 (2): 186–190. doi : 10.1112/blms/2.2.186 .
Priestley, HA (1972). "Ordnade topologiska utrymmen och representationen av distributiva gitter" (PDF) . Proc. London Math. Soc . 24 (3): 507–530. doi : 10.1112/plms/s3-24.3.507 . hdl : 10338.dmlcz/134149 .
Cornish, WH (1975). "Om H. Priestleys dual av kategorin avgränsade distributionsgitter" . Matta. Vesnik . 12 (27): 329–332.
Hochster, M. (1969). "Primär ideal struktur i kommutativa ringar" . Trans. Amer. Matematik. Soc . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X .
Bezhanishvili, G.; Bezhanishvili, N.; Gabelaia, D.; Kurz, A (2010). "Bitopologisk dualitet för distributiva gitter och Heyting-algebror" ( PDF) . Matematiska strukturer i datavetenskap . 20 .
Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spektrala utrymmen . Nya matematiska monografier. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 978-1-107-14672-3 .