Spektralt utrymme
Inom matematiken är ett spektralrum ett topologiskt rum som är homeomorft till spektrumet av en kommutativ ring . Det kallas ibland också ett koherent utrymme på grund av kopplingen till koherent topos .
Definition
Låt X vara ett topologiskt rum och låt K ( X ) vara mängden av alla kompakta öppna delmängder av X . Då X vara spektral om den uppfyller alla följande villkor:
- X är kompakt och T 0 .
- K ( X ) är en bas för öppna delmängder av X .
- K ( X ) stängs under ändliga skärningspunkter.
- X är nykter , dvs varje icke-tom irreducerbar sluten delmängd av X har en (nödvändigtvis unik) generisk punkt .
Motsvarande beskrivningar
Låt X vara ett topologiskt rum. Var och en av följande egenskaper är ekvivalenta med egenskapen hos X som är spektral:
- X är homeomorf till en projektiv gräns av ändliga 0 T -rum .
- X är homeomorft till spektrumet av ett begränsat distributivt gitter L . I det här fallet L isomorft (som ett avgränsat gitter) till gittret K ( X ) (detta kallas stenrepresentation av distributiva gitter ).
- X är homeomorft till spektrumet av en kommutativ ring .
- X är det topologiska utrymmet som bestäms av ett Priestley - utrymme .
- 0 X är ett T- rum vars ram av öppna uppsättningar är koherent (och varje koherent ram kommer från ett unikt spektralutrymme på detta sätt).
Egenskaper
Låt X vara ett spektralrum och låt K ( X ) vara som tidigare. Sedan:
- K ( X ) är ett begränsat subgitter av delmängder av X .
- Varje slutet delrum av X är spektralt.
- En godtycklig skärning av kompakta och öppna delmängder av X (därav av element från K ( X )) är återigen spektral.
- X är T 0 per definition, men i allmänhet inte T 1 . Faktum är att ett spektralrum är T 1 om och endast om det är Hausdorff (eller T 2 ) om och endast om det är ett booleskt rymd om och endast om K ( X ) är en boolesk algebra .
- X kan ses som ett parvis stenutrymme .
Spektrala kartor
En spektralkarta f: X → Y mellan spektralrummen X och Y är en kontinuerlig karta så att förbilden av varje öppen och kompakt delmängd av Y under f återigen är kompakt.
Kategorien spektralrum, som har spektralkartor som morfismer, är dubbelt ekvivalent med kategorin avgränsade distributiva gitter (tillsammans med morfismer av sådana gitter). I denna antiekvivalens motsvarar ett spektralutrymme X gittret K ( X ).
Citat
- M. Hochster (1969). Prime ideal struktur i kommutativa ringar. Trans. Amer. Matematik. Soc. , 142 43—60
- Johnstone, Peter (1982), "II.3 Coherent locales", Stone Spaces , Cambridge University Press, s. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3 .
- Dickmann, Max; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Spektrala utrymmen . Nya matematiska monografier. Vol. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .