Spektralt utrymme

Inom matematiken är ett spektralrum ett topologiskt rum som är homeomorft till spektrumet av en kommutativ ring . Det kallas ibland också ett koherent utrymme på grund av kopplingen till koherent topos .

Definition

Låt X vara ett topologiskt rum och låt K ( X ) vara mängden av alla kompakta öppna delmängder av X . Då X vara spektral om den uppfyller alla följande villkor:

Motsvarande beskrivningar

Låt X vara ett topologiskt rum. Var och en av följande egenskaper är ekvivalenta med egenskapen hos X som är spektral:

  1. X är homeomorf till en projektiv gräns av ändliga 0 T -rum .
  2. X är homeomorft till spektrumet av ett begränsat distributivt gitter L . I det här fallet L isomorft (som ett avgränsat gitter) till gittret K ( X ) (detta kallas stenrepresentation av distributiva gitter ).
  3. X är homeomorft till spektrumet av en kommutativ ring .
  4. X är det topologiska utrymmet som bestäms av ett Priestley - utrymme .
  5. 0 X är ett T- rum vars ram av öppna uppsättningar är koherent (och varje koherent ram kommer från ett unikt spektralutrymme på detta sätt).

Egenskaper

Låt X vara ett spektralrum och låt K ( X ) vara som tidigare. Sedan:

  • K ( X ) är ett begränsat subgitter av delmängder av X .
  • Varje slutet delrum av X är spektralt.
  • En godtycklig skärning av kompakta och öppna delmängder av X (därav av element från K ( X )) är återigen spektral.
  • X är T 0 per definition, men i allmänhet inte T 1 . Faktum är att ett spektralrum är T 1 om och endast om det är Hausdorff (eller T 2 ) om och endast om det är ett booleskt rymd om och endast om K ( X ) är en boolesk algebra .
  • X kan ses som ett parvis stenutrymme .

Spektrala kartor

En spektralkarta f: X → Y mellan spektralrummen X och Y är en kontinuerlig karta så att förbilden av varje öppen och kompakt delmängd av Y under f återigen är kompakt.

Kategorien spektralrum, som har spektralkartor som morfismer, är dubbelt ekvivalent med kategorin avgränsade distributiva gitter (tillsammans med morfismer av sådana gitter). I denna antiekvivalens motsvarar ett spektralutrymme X gittret K ( X ).

Citat