Bitopologiskt utrymme

Inom matematiken är ett bitopologiskt utrymme en mängd som har två topologier . Vanligtvis, om mängden är $X$ och topologierna är $\sigma$ och $\tau$ så hänvisas det bitopologiska rummet till som $( X,\sigma ,\tau )$ . Begreppet introducerades av JC Kelly i studien av kvasimetri , dvs avståndsfunktioner som inte krävs för att vara symmetriska.

Kontinuitet

En karta $\scriptstyle f:X\to X'$ från ett bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X,\tau _{1},\ tau _{2})$ till ett annat bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X',\tau _{1}',\tau _{2}')$ är kallas kontinuerlig eller ibland parvis kontinuerlig om $\scriptstyle f$ är kontinuerlig både som en karta från $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ till $\scriptstyle (X',\tau _{1}')$ och som karta från $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ till $\scriptstyle (X',\tau _{2}')$ .

Bitopologiska varianter av topologiska egenskaper

Motsvarande välkända egenskaper hos topologiska utrymmen finns versioner för bitopologiska utrymmen.

• Ett bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ är parvis kompakt om varje lock ${ \displaystyle \scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ av $\scriptstyle X$ med $\scriptstyle U_{i}\in \tau _{1}\cup \tau _{2}$ , innehåller ett ändligt undertäcke. I det här fallet $\scriptstyle \{U_{i}\mid i\in I\}$ innehålla minst en medlem från $\tau _{1}$ och minst en medlem från $\tau _{2}$
• Ett bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ är parvis Hausdorff om för två distinkta punkter ${ \displaystyle \scriptstyle x,y\in X}$ det finns disjunkt $\scriptstyle U_{1}\in \tau _{1}$ och $\scriptstyle U_{ 2}\in \tau _{2}$ med $\scriptstyle x\in U_{1}$ och $\scriptstyle y\in U_{2}$ .
• Ett bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X,\tau _{1},\tau _{2})$ är parvis nolldimensionellt om det öppnas i ${ \displaystyle \scriptstyle (X,\tau _{1})}$ som är stängda i $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ utgör en grund för $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ , och öppnas i $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ som är stängda i $\scriptstyle (X,\tau _{1})$ utgör en grund för $\scriptstyle (X,\tau _{2})$ .
• Ett bitopologiskt utrymme $\scriptstyle (X,\sigma ,\tau )$ kallas binormalt om för varje $\scriptstyle F_{\sigma }$$\scriptstyle \sigma$ -stängd och $\scriptstyle F_{\tau }$$\scriptstyle \tau$ -slutna mängder det finns $\scriptstyle G_{\sigma }$$\scriptstyle \sigma$ -öppen och $\scriptstyle G_{\tau }$$\scriptstyle \tau$ -öppna uppsättningar så att $\scriptstyle F_{\sigma } \subseteq G_{\tau }$$\scriptstyle F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }$ och $\scriptstyle G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\emptyset .$

Anteckningar

• Kelly, JC (1963). Bitopologiska utrymmen. Proc. London Math. Soc. , 13(3) 71–89.
• Reilly, IL (1972). Om bitopologiska separationsegenskaper. Nanta Math. , (2) 14–25.
• Reilly, IL (1973). Nolldimensionella bitopologiska utrymmen. Indag. Matematik. , (35) 127-131.
• Salbany, S. (1974). Bitopologiska utrymmen, kompaktifieringar och kompletteringar . Institutionen för matematik, University of Cape Town, Kapstaden.
• Kopperman, R. (1995). Asymmetri och dualitet i topologi. Topologi Appl. 66(1) 1-39.
• Fletcher. P, Hoyle HB III och Patty CW (1969). Jämförelse av topologier. Duke Math. J. , 36(2) 325-331.
• Dochviri, I., Noiri T. (2015). På vissa egenskaper hos stabila bitopologiska utrymmen. Topol. Proc. , 45 111–119.