Positiva och negativa delar

I matematik definieras den positiva delen av en reell eller utökad funktion med reellt värde av formeln

f^{+}(x)=\max(f(x),0)={\begin{cases}f(x)&{\mbox{ if }}f(x)>0\\0& {\mbox{ annars.}}\end{cases}}

Intuitivt erhålls grafen för $f^{+}$ genom att ta grafen för ${\displaystyle f} ,$ skära av delen under x -axeln och låta $f^{ +}$ ta värdet noll där.

På liknande sätt definieras den negativa delen av f som

f^{-}(x)=\max(-f(x),0)=-\min(f(x),0)={\begin{cases}-f(x)&{\ mbox{ if }}f(x)<0\\0&{\mbox{ annars.}}\end{cases}}

Observera att både f ⁺ och f ⁻ är icke-negativa funktioner. En egenhet med terminologi är att den "negativa delen" varken är negativ eller en del (som den imaginära delen av ett komplext tal varken är imaginär eller en del).

Funktionen f kan uttryckas i termer av f ⁺ och f ⁻ as

f=f^{+}-f^{-}.

Notera också att

|f|=f^{+}+f^{-}

.

Med dessa två ekvationer kan man uttrycka de positiva och negativa delarna som

f^{+}={\frac {|f|+f}{2}}

f^{-}={\frac {|f|-f}{2}}.

En annan representation, med Iverson-fästet är

f^{+}=[f>0]f

f^{-}=-[f<0]f.

Man kan definiera den positiva och negativa delen av vilken funktion som helst med värden i en linjärt ordnad grupp .

Enhetsrampfunktionen är den positiva delen av identitetsfunktionen .

Mått-teoretiska egenskaper

Givet ett mätbart utrymme ( X ,Σ) är en utökad funktion f med reellt värde mätbar om och endast om dess positiva och negativa delar är det. Därför, om en sådan funktion f är mätbar, så är dess absoluta värde | f |, är summan av två mätbara funktioner. Det omvända gäller dock inte nödvändigtvis: till exempel att ta f as

f=1_{V}-{1 \over 2},

där V är en Vitali-mängd är det tydligt att f inte är mätbart, men dess absoluta värde är en konstant funktion.

Den positiva delen och den negativa delen av en funktion används för att definiera Lebesgue-integralen för en funktion med verkligt värde. Analogt med denna nedbrytning av en funktion kan man dekomponera ett tecken med tecken i positiva och negativa delar — se Hahns nedbrytningssats .

Se även

Jones, Frank (2001). Lebesgue integration on Euclidian space, Rev. ed . Sudbury, Mass.: Jones och Bartlett. ISBN 0-7637-1708-8 .

Hunter, John K; Nachtergaele, Bruno (2001). Tillämpad analys . Singapore; River Edge, NJ: World Scientific. ISBN 981-02-4191-7 .

Rana, Inder K (2002). En introduktion till mått och integration, 2nd ed . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2974-2 .

externa länkar

Positiv del på MathWorld