Rampfunktion

Graf över rampfunktionen

Rampfunktionen är en unär reell funktion , vars graf är formad som en ramp . Det kan uttryckas med många definitioner , till exempel "0 för negativa ingångar, utdata är lika med ingång för icke-negativa ingångar". Termen "ramp" kan också användas för andra funktioner som erhålls genom skalning och växling , och funktionen i den här artikeln är enhetsrampfunktionen ( lutning 1, som börjar på 0).

I matematik är rampfunktionen även känd som den positiva delen .

Inom maskininlärning är det allmänt känt som en ReLU- aktiveringsfunktion eller en likriktare i analogi med halvvågslikriktning inom elektroteknik . I statistik (när den används som en sannolikhetsfunktion ) är den känd som en tobit-modell .

Den här funktionen har många tillämpningar inom matematik och teknik, och går under olika namn, beroende på sammanhanget. Det finns differentierbara varianter av rampfunktionen.

Definitioner

Rampfunktionen ( ₀ R ( x ) : R → R ⁺ ) kan definieras analytiskt på flera sätt. Möjliga definitioner är:

• En styckvis funktion :
  $$R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0;\\0,&x<0\end{cases}}$$
• Max funktionen :
  $$R(x):=\max(x,0)$$
• Medelvärdet av en oberoende variabel och dess absoluta värde (en rät linje med enhetsgradient och dess modul) :
  $$R(x):={\frac {x+|x|}{2}}$$
  detta kan härledas genom att notera följande definition av max( a , b ) ,
  $$\max(a,b)={\frac {a+b+|ab|}{2}}$$
  för vilka a = x och b = 0
• Stegfunktionen Heaviside multiplicerad med en rak linje med enhetsgradient:
  $$R\left(x\right):=xH(x)$$
• Konvolutionen av Heaviside - stegfunktionen med sig själv:
  $$R\left(x\right):=H(x)*H(x)$$
• Integralen av Heaviside - stegfunktionen:
  $$R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi$$
• Macaulay-fästen :
  $$R(x):=\langle x\rangle$$
• Den positiva delen av identitetsfunktionen :
  $$R:=\operatörsnamn {id} ^{+}$$

Ansökningar

Rampfunktionen har många tillämpningar inom teknik, till exempel i teorin om digital signalbehandling .

Utdelning och vinster från att köpa en köpoption .

Inom finans är utdelningen av en köpoption en ramp (förskjuten av lösenpriset ). Att vända en ramp horisontellt ger en säljoption , medan vertikal vändning (att ta det negativa) motsvarar att sälja eller vara "short" en option. Inom finans är formen allmänt kallad en " hockeyklubba ", på grund av att formen liknar en ishockeyklubba .

Ett spegelpar av gångjärn fungerar med en knut vid x=3,1

I statistik är gångjärnsfunktioner för multivariat adaptiva regressionssplines (MARS) ramper och används för att bygga regressionsmodeller .

Analytiska egenskaper

Icke-negativitet

I hela domänen är funktionen icke-negativ, så dess absoluta värde är sig själv, dvs

$$\forall x\in \mathbb {R} :R(x)\geq 0$$

och

$$\left|R(x)\right|=R(x)$$

Bevis

enligt definition 2 är den icke-negativ under det första kvartalet och noll under det andra; så överallt är det icke-negativt.

Derivat

Dess derivata är Heaviside-stegfunktionen :

$$R'(x)=H(x)\quad {\mbox{för }}x\neq 0.$$

Andra derivatan

Rampfunktionen uppfyller differentialekvationen:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}R(x-x_{0})= \delta (x-x_{0}),$$

där δ ( x ) är Dirac delta . Detta betyder att R ( x ) är en gröns funktion för andraderivatans operator. Således kommer vilken funktion som helst, f ( x ) , med en integrerbar andraderivata, f ″( x ) , att uppfylla ekvationen:

$$f(x)=f(a)+(xa)f'(a)+\int _{a}^{b}R(xs)f''(s)\,ds\quad {\mbox {för }}a<x<b.$$

Fouriertransform

$${\ matematisk {F}}{\big \{}R(x){\big \}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx }\,dx={\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}},$$

där δ ( x ) är Dirac delta (i denna formel visas dess derivata ).

Laplace transformation

Den enkelsidiga Laplace-transformen av R ( x ) ges enligt följande,

$${\mathcal {L}}{\big \{}R(x){\big \}}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x )dx={\frac {1}{s^{2}}}.$$

Algebraiska egenskaper

Iterationsinvarians

Varje itererad funktion av rampkartläggningen är sig själv, som

$$R{\big (}R(x){\big )}=R(x).$$

Bevis

$$R{\big (}R(x){\big )}:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+ R(x)}{2}}=R(x).$$

Detta gäller den icke-negativa egenskapen .

Se även

• Tobit modell