Pomeranchuk instabilitet

Pomeranchuk- instabiliteten är en instabilitet i form av Fermi - ytan av ett material med interagerande fermioner , vilket får Landaus Fermi-vätsketeori att bryta ner. Det uppstår när en Landau-parameter i Fermi-vätsketeorin har ett tillräckligt negativt värde, vilket gör att deformationer av Fermi-ytan blir energetiskt gynnsamma. Den är uppkallad efter den sovjetiske fysikern Isaak Pomeranchuk .

Introduktion: Landau-parameter för en Fermi-vätska

I en Fermi-vätska finns renormaliserade enkelelektronpropagatorer ( som ignorerar spinn ) .

$$G(K)={\frac {Z}{k_{0}-\epsilon _{\vec {k}} +i\eta \operatörsnamn {sgn}(k_{0})}}{\text{,}}$$

där stora momentumbokstäver betecknar fyrvektorer ${\textstyle K=(k_{0},{\vec {k}})}$ och Fermi-ytan har noll energi; polerna för denna funktion bestämmer kvasipartikelns energi-moment- spridningsrelation . Fyrpunktsvertexfunktionen ${\textstyle \Gamma _{(K_{3},K_{4};K_{1},K_{2})}}$ beskriver diagrammet med två inkommande elektroner med momentum ${\textstyle K_{1}}$ och ${\textstyle K_{2}}$ ; två utgående elektroner med momentum ${\textstyle K_{3}}$ och ${\textstyle K_{4}}$ ; och amputerade externa linjer:

$${\begin{aligned}\Gamma _{(K_{3},K_{4};K_{1},K_{2})}&=\int {\prod _{i=1}^{ 2}{dX_{i}\,e^{iK_{i}X_{i}}}\prod _{i=3}^{4}{dX_{i}\,e^{-iK_{i}X_ {i}}}\langle T\psi ^{\dolk }(X_{3})\psi ^{\dolk }(X_{4})\psi (X_{1})\psi (X_{2}) \rangle }\\&=(2\pi )^{8}\delta (K_{1}-K_{3})\delta (K_{2}-K_{4})G(K_{1})G (K_{2})-{}\\&{\phantom {{}={}}}(2\pi )^{8}\delta (K_{1}-K_{4})\delta (K_{ 2}-K_{3})G(K_{1})G(K_{2})+{}\\&{\phantom {{}={}}}(2\pi )^{4}\delta ({K_{1}+K_{2}-K_{3}-K_{4}})G(K_{1})G(K_{2})G(K_{3})G(K_{4} )i\Gamma _{(K_{3},K_{4};K_{1},K_{2})}{\text{.}}\end{aligned}}$$

Ring momentumöverföringen

$$K'=(k'_{0},{\vec {k'}})=K_{1}-K_{3}{\text{.}}$$

När ${\textstyle K'}$ är mycket liten (intresseregimen här), dominerar T -kanalen S- och U -kanalerna. Dyson -ekvationen ger sedan en enklare beskrivning av fyrpunktsvertexfunktionen i termer av den irreducerbara 2-partikeln ${\textstyle {\tilde {\Gamma }}} ,$ vilket motsvarar alla diagram kopplade efter att två elektronpropagatorer har klippts:

$$\Gamma _{K_{3},K_{4};K_{1},K_{2}}={\tilde {\Gamma }}_{K_{3},K_{4};K_{ 1},K_{2}}-i\sum _{Q}{\tilde {\Gamma }}_{K_{3},Q+K';K_{1},Q}G(Q)G(Q +K')\Gamma _{Q,K_{4};Q+K',K_{2}}{\text{.}}$$

Lösning för $\Gamma$ visar att i liknande momentum, liknande våglängdsgräns ${\textstyle k'\ll \omega '\ll 1}$ , tenderar den förra mot en operator ${\textstyle \Gamma _{K_{1},K_{2}}^{\omega }}$ tillfredsställande

$$L=\Gamma ^{-1}-(\Gamma ^{\omega })^{-1}{\text{,}}$$

var

$$L_{Q''+K'',Q'-K';Q'',Q'}=-i\delta _{Q'',Q'}\delta _{K'',K' }G(Q')G(K'+Q'){\text{.}}$$

Den normaliserade Landau-parametern definieras i termer av ${\textstyle \Gamma _{K_{1},K_{2}}^{\omega }}$ som

$$f_{kk'}=Z^{2}N\Gamma ^{\omega }((\epsilon _{\rm {F}},{\vec {k}}),(\epsilon _{\rm {F}},{\vec {k'}})){\text{, }}$$

där ${\textstil N={\frac {p_{\mathrm {F} }m_{\mathrm {F} }^{*}}{\pi ^{2}}}}$ är tätheten av Fermi yttillstånd. I Legendre eigenbasis ${\textstyle \{P_{\ell }\}_{\ell }}$ tillåter parametern ${\textstyle f}$ expansionen

$$f_{p_{\rm {F}}{\hat {k}},p_{\rm {F}}{\hat {k'}}}=\summa _{\ell =0}^{ \infty }{P_{\ell }({\hat {k}}\cdot {\hat {k'}})f_{\ell }}{\text{.}}$$

Pomeranchuks analys visade att varje ${\textstyle f_{\ell }}$ inte kan vara särskilt negativ.

Stabilitetskriterium

I en 3D isotrop Fermi-vätska, överväg små densitetsfluktuationer ${\textstyle \delta n_{k}=\ Theta (|k|-p_{\mathrm {F} })-\Theta (|k|-p_{\mathrm {F} }'({\hat {k}}))} runt Fermi$ - momentet ${ \textstyle p_{\mathrm {F} }}$ , där skiftet i Fermi-ytan expanderar i sfäriska övertoner som

$$p_{\rm {F}}'({\hat {k}})=\sum _{l=0}^{\infty }Y_{l,m}({\hat {k}}) \delta \phi _{lm}({\hat {k}}){\text{.}}$$

Energin associerad med en störning approximeras av den funktionella

$$E=\sum _{\vec {k}}\epsilon _{\vec {k}}\delta n_{\vec {k}}+\summa _{{\vec {k}},{\vec {k'}}}{{\frac {1}{2NV}}f_{{\vec {k}}{\vec {k'}}}\delta n_{\vec {k}}\delta n_{\vec {k'}}}$$

där ${\textstil {\vec {\epsilon _{k}}}=v_{\mathrm {F} }(|{\vec {k}}| -p_{\mathrm {F} })}$ . Förutsatt att ${\textstyle |\delta \phi _{lm}|\ll |p_{\rm {F}}|} ,$ dessa termer är,

$${\begin{aligned}&\sum _{k}\epsilon _{k}\delta n_{k}={ \frac {2}{(2\pi )^{3}}}\int d^{2}{\hat {k}}\int _{p_{\rm {F}}}^{p_{\rm {F}}'({\hat {k}})}v_{\rm {F}}(p'-p_{\rm {F}})p'^{2}dp'={\frac {p_ {\rm {F}}^{2}v_{\rm {F}}}{(2\pi )^{3}}}\summa _{lm}(\delta \phi _{lm})^{ 2}{\frac {4\pi }{2l+1}}{\frac {(l+m)!}{(lm)!}}\\&\summa _{k,k'}f_{kk' }\delta n_{k}\delta n_{k'}={\frac {2p_{\rm {F}}^{4}}{(2\pi )^{6}}}\int d^{2 }{\hat {k}}d^{2}{\hat {k'}}(p_{\rm {F}}'({\hat {k}})-p_{\rm {F}}) (p_{\rm {F}}'({\hat {k'}})_{\rm {F}})f_{p_{\rm {F}}{\hat {k}},p_{\ rm {F}}{\hat {k'}}}\end{aligned}}$$

och så

$$E={\frac {p_{\rm {F}}^{2}v_{\rm {F}}}{2(\pi )^{2}}}\summa _{lm}(\ delta \phi _{lm})^{2}{\frac {(l+m)!}{(2l+1)(lm)!}}\left(1+{\frac {f_{l}}{ 2l+1}}\höger){\text{.}}$$

När Pomeranchuk stabilitet kriterium

$$f_{l}>-(2l+1)$$

är uppfyllt, detta värde är positivt och Fermi-ytförvrängningen ${\textstyle \delta \phi _{lm}}$ kräver energi för att bildas. Annars ${\textstyle \delta \phi _{lm}}$ energi och kommer att växa utan bunden tills modellen går sönder. Den processen är känd som Pomeranchuk-instabilitet .

I 2D visar en liknande analys, med cirkulära vågfluktuationer ${\textstyle \propto e^{il\theta }}$ istället för sfäriska övertoner och Chebyshev-polynom istället för Legendre-polynom, att Pomeranchuk-begränsningen är ${\textstyle f_{l}>-1}$ . I anisotropa material är samma kvalitativa resultat sant - för tillräckligt negativa Landau-parametrar förstör instabila fluktuationer spontant Fermi-ytan.

Punkten där $F_{l}=-(2l+1)$ är av mycket teoretiskt intresse eftersom den indikerar en kvantfasövergång från en Fermi-vätska till ett annat tillstånd av materia Över noll temperatur existerar ett kvantkritiskt tillstånd.

Fysiska kvantiteter med uppenbart Pomeranchuk-kriterium

Många fysikaliska storheter i Fermi vätsketeorin är enkla uttryck för komponenter i Landau-parametrar. Några standardmodeller listas här; de divergerar eller blir opysiska bortom den kvantkritiska punkten.

Isotermisk kompressibilitet : $\kappa =-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P} }={\frac {N/n^{2}}{1+f_{0}}}$

Effektiv massa : $m^{*}={\frac {p_{\rm {F}}}{v_{\rm {F} }}}=m(1+f_{1}/3)$

Hastighet för första ljud: $C={\sqrt {\frac {p_{\rm {F}}^{2}(1+ f_{0})}{m^{2}(3+f_{1})}}}$

Instabila nollljudlägen

Pomeranchuk-instabiliteten manifesterar sig i spridningsrelationen för det nollte ljudet , som beskriver hur de lokaliserade fluktuationerna av momentumdensitetsfunktionen ${\textstyle \delta n_{k}}$ fortplantar sig genom rum och tid.

Precis som kvasipartikeldispersionen ges av polen för en-partikelpropagatorn, ges nollljudspridningsrelationen av polen för T -kanalen för vertexfunktionen ${\textstil \Gamma (K_{3},K_{4};K_{1},K_{2})}$ nära liten ${\textstyle K_{1}-K_{3}}$ . Fysiskt beskriver detta utbredningen av ett elektronhålspar, som är ansvarigt för fluktuationerna i ${\textstyle \delta n_{k}}$ .

Från relationen ${\textstil \Gamma =((\Gamma ^{\omega })^{-1}-L)^{-1}} och$ ignorera bidrag av ${\textstyle f_{\ell }}$ för ${\textstyle \ell >0}$ , nollljudspektrumet ges av fyravektorerna $K'=(\omega ({\vec {k'}}),{\vec {k'}})$ uppfyller

$${\frac {Z^{2}N}{f_{0}}}=-i\sum _{Q}G(Q+K')G(Q+K){\text{.}}$$

På motsvarande sätt,

$${\frac {-1}{f_{0}}} =\Phi (s,x)={\frac {(sx/2)^{2}-1}{4x}}\ln {\!\left({\frac {(sx/2)+1}{ (sx/2)-1}}\right)}-{\frac {(s+x/2)^{2}-1}{4x}}\ln {\!\left({\frac {(s) +x/2)+1}{(s+x/2)-1}}\right)}+{\frac {1}{2}}$$

 

 

 

 

()

där ${\textstyle s={\frac {\omega ({\vec {k}})}{|{\vec {k}}|p_{\rm {F}}}}}$ och ${\textstil x={\frac {|k|}{p_{\rm {F}}}}}$ .

När $f_{0}>0$ , kan ekvationen ( 1 ) implicit lösas för en reell lösning $s(x)$ , motsvarande ett reellt spridningsförhållande för oscillerande vågor.

När $f_{0}<0$ är lösningen $s(x)$ rent imaginär , vilket motsvarar en exponentiell förändring i amplitud över tiden. För $-1<f_{0}<0$ , den imaginära delen $\Im (s(x))<0$ , dämpar vågor på noll ljud. Men för $-1>f_{0}$ och tillräckligt liten $x$ , den imaginära delen $\Im (s(x))> 0$ , vilket innebär exponentiell tillväxt av alla ljudstörningar med lågt momentum och noll.

Nematisk fasövergång

Pomeranchuk-instabiliteter i icke-relativistiska system vid $l=1$ kan inte existera. Instabiliteter vid $l=2$ har dock intressanta solid state-tillämpningar. Från formen av sfäriska övertoner $Y_{2,m}(\theta ,\phi )$ (eller $e^{2i\theta }$ i 2D), är Fermi-ytan förvrängd till en ellipsoid (eller ellips). Specifikt, i 2D, parametern fyrpolig momentordning

$${\tilde {Q}}(q)=\summa _{k}e^{2i\theta _{q} }\psi _{k+q}^{\dolk }\psi _{k}$$

har ett vakuumförväntningsvärde som inte är noll i $l=2$ Pomeranchuk instabilitet. Fermi-ytan har excentricitet $|\langle {\tilde {Q}}(0)\rangle |$ och spontan huvudaxelorientering $\theta =\arg(\langle {\ tilde {Q}}(0)\rangle )$ . Gradvis rumslig variation i $\theta ({\vec {r}})$ bildar gaplösa Goldstone-moder , som bildar en nematisk vätska statistiskt analog med en flytande kristall. Oganesyan et al.s analys av en modellinteraktion mellan kvadrupolmoment förutsäger dämpade nollljudfluktuationer av kvadrupolmomentkondensatet för vågor snett mot ellipsaxlarna.

Halboth och Metzner har funnit att den 2d kvadratiska tättbindande Hubbard Hamiltonian med närmast närmaste granne interaktion visar instabilitet i känsligheten för d -vågsfluktuationer under renormaliseringsgruppflöde . Således misstänks Pomeranchuk-instabiliteten förklara den experimentellt uppmätta anisotropin i kupratsupraledare såsom LSCO och YBCO .

Se även

• Kohn anomali
• Pomeranchuks sats
• Lindhards teori