Fermi energi

Fermi -energin är ett begrepp inom kvantmekaniken som vanligtvis hänvisar till energiskillnaden mellan de högsta och lägsta ockuperade enpartikeltillstånden i ett kvantsystem av icke-interagerande fermioner vid absolut nolltemperatur . I en Fermi-gas anses det lägsta ockuperade tillståndet ha noll kinetisk energi, medan i en metall det lägsta ockuperade tillståndet vanligtvis anses betyda botten av ledningsbandet .

Termen "Fermi-energi" används ofta för att hänvisa till ett annat men närbesläktat koncept, Fermi- nivån (även kallad elektrokemisk potential ). Det finns några viktiga skillnader mellan Fermi-nivån och Fermi-energin, åtminstone som de används i den här artikeln:

• Fermi-energin definieras endast vid absolut noll, medan Fermi-nivån definieras för vilken temperatur som helst.
• Fermi-energin är en energiskillnad ( som vanligtvis motsvarar en kinetisk energi ), medan Fermi-nivån är en total energinivå inklusive kinetisk energi och potentiell energi.
• Fermi-energin kan endast definieras för icke-interagerande fermioner (där den potentiella energin eller bandkanten är en statisk, väldefinierad kvantitet), medan Fermi-nivån förblir väldefinierad även i komplexa interagerande system, vid termodynamisk jämvikt.

Eftersom Fermi-nivån i en metall vid absolut noll är energin för det högsta ockuperade enpartikeltillståndet, är Fermi-energin i en metall energiskillnaden mellan Fermi-nivån och lägsta ockuperade enpartikeltillstånd, vid nolltemperatur.

Sammanhang

Huvudartikel: Fermi gas

Inom kvantmekaniken lyder en grupp partiklar som kallas fermioner (till exempel elektroner , protoner och neutroner ) Paulis uteslutningsprincip . Detta säger att två fermioner inte kan uppta samma kvanttillstånd . Eftersom en idealiserad icke-interagerande Fermi-gas kan analyseras i termer av enpartikelstationära tillstånd , kan vi alltså säga att två fermioner inte kan uppta samma stationära tillstånd. Dessa stationära tillstånd kommer vanligtvis att vara distinkta i energi. För att hitta grundtillståndet för hela systemet börjar vi med ett tomt system och lägger till partiklar en i taget och fyller i följd de lediga stationära tillstånden med lägst energi. När alla partiklar har satts in Fermi-energin den kinetiska energin för det högsta ockuperade tillståndet.

Som en konsekvens, även om vi har utvunnit all möjlig energi från en Fermi-gas genom att kyla den till nära absolut nolltemperatur , rör sig fermionerna fortfarande runt i hög hastighet. De snabbaste rör sig med en hastighet som motsvarar en kinetisk energi lika med Fermi-energin. Denna hastighet är känd som Fermi-hastigheten . Först när temperaturen överstiger den relaterade Fermi-temperaturen börjar partiklarna röra sig betydligt snabbare än vid absolut noll.

Fermi-energin är ett viktigt begrepp i fasta tillståndets fysik hos metaller och supraledare . Det är också en mycket viktig kvantitet i fysiken för kvantvätskor som helium vid låg temperatur (både normalt och superfluid ³ He), och det är ganska viktigt för kärnfysiken och för att förstå stabiliteten hos vita dvärgstjärnor mot gravitationskollaps .

Formel och typiska värden

Fermi-energin för en icke-interagerande ensemble av identiska spin- 1 ⁄ 2 fermioner i ett tredimensionellt (icke- relativistiskt ) system ges av

$$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left ({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\höger)^{2/3},$$

₀ där N är antalet partiklar, m vilomassan för varje fermion, V systemets volym och $displaystyle \hbar }$ \ den reducerade Planck-konstanten .

Metaller

Under den fria elektronmodellen kan elektronerna i en metall anses bilda en Fermi-gas. Taldensiteten $N/V$ för ledningselektroner i metaller sträcker sig mellan ungefär 10 ²⁸ och 10 ²⁹ elektroner/m ³ , vilket också är den typiska tätheten för atomer i vanlig fast materia. Denna taltäthet producerar en Fermi-energi i storleksordningen 2 till 10 elektronvolt .

Vita dvärgar

Stjärnor som kallas vita dvärgar har en massa som är jämförbar med solen , men har ungefär en hundradel av sin radie. De höga tätheterna gör att elektronerna inte längre är bundna till enstaka kärnor utan bildar istället en degenererad elektrongas. Deras Fermi-energi är cirka 0,3 MeV.

Kärna

Ett annat typiskt exempel är nukleonerna i en atoms kärna. Kärnans radie tillåter avvikelser, så ett typiskt värde för Fermi-energin anges vanligtvis som 38 MeV .

Relaterade kvantiteter

Genom att använda denna definition ovan för Fermi-energin kan olika relaterade kvantiteter vara användbara.

Fermi -temperaturen definieras som

$$T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},$$

där $k_{\text{B}}$ är Boltzmann-konstanten och $E_{\text{F}}$ Fermi-energin. Fermi-temperaturen kan ses som den temperatur vid vilken termiska effekter är jämförbara med kvanteffekter associerade med Fermi-statistik . Fermi-temperaturen för en metall är ett par storleksordningar över rumstemperatur.

Andra storheter som definieras i detta sammanhang är Fermi momentum

$$p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}$$

och Fermi-hastighet

$$v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.$$

Dessa kvantiteter är respektive rörelsemängd och grupphastighet för en fermion vid Fermiytan .

Fermi momentum kan också beskrivas som

$$p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},$$

där $k_{\text{F}}$ , kallad Fermi-vågvektorn , är radien för Fermi-sfären.

Dessa kvantiteter kanske inte är väldefinierade i fall där Fermi-ytan är icke-sfärisk.

Se även

• Fermi–Dirac-statistik : fördelningen av elektroner över stationära tillstånd för icke-interagerande fermioner vid temperaturer som inte är noll .
• Fermi nivå
• Quasi Fermi nivå

Vidare läsning

•   Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Termisk fysik (2:a upplagan) . WH Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2 .