Noll ljud

Noll ljud är namnet som Lev Landau gav 1957 till de unika kvantvibrationerna i kvantfermi- vätskor . Nollljudet kan inte längre ses som en enkel våg av kompression och sällsynthet, utan snarare en fluktuation i rum och tid hos kvasipartiklarnas momentumfördelningsfunktion . Eftersom formen på Fermi-distributionsfunktionen ändras något (eller till stor del), fortplantar sig noll ljud i riktningen för huvudet på Fermi-ytan utan någon förändring av vätskans densitet. Förutsägelser och efterföljande experimentella observationer av noll ljud var en av nyckelbekräftelserna på riktigheten av Landaus Fermi-vätsketeori .

Härledning från Boltzmanns transportekvation

Boltzmanns transportekvation för allmänna system i den semiklassiska gränsen ger, för en Fermi-vätska,

{\frac {\partial f}{\partial t}} +{\frac {\partial E}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {x}}}}-{\frac {\partial E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {p}}}}={\text{St}}[f]

,

där ${\displaystyle f({\vec {p}},{\vec {x}}, t)=f_{0}({\vec {p}})+\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)} är densiteten av kvasipartiklar (här ignorerar$ vi spinn ) med momentum ${\vec {p}}$ och position ${\vec {x}}$ vid tiden $t$ , och ${\displaystyle E({\vec {p}},{\vec {x}},t)=E_{0}({\ vec {p}})+\delta E({\vec {p}},{\vec {x}},t)} är$ energin hos en kvasipartikel med momentum ${\vec {p}}$ ( $f_{0}$ och $E_{0}$ betecknar jämviktsfördelning och energi i jämviktsfördelningen). Den semiklassiska gränsen antar att $f$ fluktuerar med vinkelfrekvensen $\omega$ och våglängden ${\displaystyle \lambda =2\pi /k} ,$ som är mycket lägre än $E_{\rm {F}}/\hbar$ respektive mycket längre än $\hbar /p_{\rm {F}}$ , där $E_{ \rm {F}}$ och $p_{\rm {F}}$ är Fermi-energin respektive momentum, runt vilka $f$ är icke-trivial. För att först beställa i fluktuation från jämvikt, blir ekvationen

{\frac f}{\partial \partial t}}+{\frac {\partial E_{0}}{\partial {\vec {p}}}}\cdot {\frac {\partial \delta f}{\partial {\vec {x} }}}-{\frac {\partial \delta E}{\partial {\vec {x}}}}\cdot {\frac {\partial f_{0}}{\partial {\vec {p}}} }={\text{St}}[f]

.

När kvasipartikelns medelfria bana $\ell \ll \lambda$ (motsvarande relaxationstid $\tau \ll 1/\omega$ ), vanliga ljudvågor ("första ljudet" ") föröka sig med liten absorption. Men vid låga temperaturer $T$ (där $\tau$ och $\ell$ skalar som $T^{-2}$ ), överskrider den fria medelvägen $\lambda$ , och som ett resultat kollisionsfunktionella ${\text{St}}[f]\approx 0$ . Noll ljud förekommer i denna kollisionsfria gräns.

I Fermi-vätsketeorin är energin för en kvasipartikel med momentum ${\vec {p}}$

E_{\rm {F} }+v_{\rm {F}}(|{\vec {p}}|-p_{\rm {F}})+\int {\frac {d^{3}{\vec {p}}' }{4\pi p_{\rm {F}}m^{*}}}F(p,p')\delta f(p')

,

där $F$ är den lämpligt normaliserade Landau-parametern, och

f_{0}({\vec {p}})=\Theta (p_{\rm {F}}-|{\vec { p}}|)

.

Den approximerade transportekvationen har då plana våglösningar

\delta f({\vec {p}},{\vec {x}},t)=\delta (E({\vec {p}})-E_{\rm {F}})e^{i({\vec {k} }\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\nu ({\hat {p}})

,

med $\nu ({\hat {p}})$ ges av

(\omega -v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\hat {k}})\nu ({\hat {p}})=v_{\rm {F}}{ \hat {p}}\cdot {\hat {k}}\int d^{2}{\frac {{\hat {p}}'}{4\pi }}F({\hat {p}} ,{\hat {p}}')\nu ({\hat {p}}')

.

Denna funktionella operatorekvation ger dispersionsrelationen för nollljudvågorna med frekvensen $\omega$ och vågvektorn ${\vec {k}}$ . Transportekvationen är giltig i regimen där $\hbar \omega \ll E_{\rm {F}}$ och $\hbar |{\vec {k}}|\ll p_{\rm {F}}$ .

I många system beror $F({\hat {p}},{\hat {p}}')$ bara långsamt på vinkeln mellan ${\ hat {p}}$ och ${\hat {p}}'$ . Om $F$ är en vinkeloberoende konstant $F_{0}$ med $F_{0}>0$ (observera att denna begränsning är strängare än Pomeranchuk-instabiliteten ) så är vågen har formen ${\displaystyle \nu ({\hat {p}})\propto ({\omega }/({ v_{\rm {F}}{\hat {p}}\cdot {\vec {k}}})-1)^{-1}} och$ spridningsrelation ${\frac {s}{2}}\log {\frac {s+1}{s-1}}-1=1/F_{0}$ där $s=\omega /{kv_{\rm {F}}}$ är förhållandet mellan noll ljudfashastighet och Fermi-hastighet. Om de två första Legendre-komponenterna i Landau-parametern är signifikanta, ${\displaystyle F({\hat {p}},{\hat { p}}')=F_{0}+F_{1}{\hat {p}}\cdot {\hat {p}}'} och$ F $\displaystyle F_{1}>6}$ , systemet tillåter också en asymmetrisk noll ljudvågslösning ${\displaystyle \nu ({\hat {p}})\propto {\ sin(2\theta )}/({s-\cos {\theta }})e^{i\phi }} (där ϕ {$ \ $\phi }$ och $\theta$ är azimutal och polär vinkeln på ${\hat {p}}$ om utbredningsriktningen ${\hat {k}}$ ) och spridningsrelationen