Lindhards teori

Ej att förväxla med den klassiska teorin om kanalisering , även den av Jens Lindhard.

Inom den kondenserade materiens fysik är Lindhard-teorin en metod för att beräkna effekterna av elektrisk fältscreening av elektroner i ett fast ämne . Den är baserad på kvantmekanik (första ordningens störningsteori) och slumpmässig fasapproximation . Den är uppkallad efter den danske fysikern Jens Lindhard , som först utvecklade teorin 1954.

Thomas–Fermi-screening och plasmaoscillationerna kan härledas som ett specialfall av den mer allmänna Lindhard-formeln. Speciellt är Thomas–Fermi-screening gränsen för Lindhard-formeln när vågvektorn (det reciproka av längdskalan av intresse) är mycket mindre än Fermi-vågvektorn, dvs långdistansgränsen. Lorentz-Drude-uttrycket för plasmaoscillationerna återvinns i det dynamiska fallet (långa våglängder, ändlig frekvens).

Den här artikeln använder cgs-Gaussian-enheter .

Formel

Lindhardformeln för den longitudinella dielektriska funktionen ges av

$\epsilon (\mathbf {q} ,\omega )=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{\hbar (\omega +i\delta )+E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }} }.$

Här är $\delta$ en positiv infinitesimal konstant, $V_{\mathbf {q} }$ är $V_{\text{eff }}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )$ och $f_{\mathbf {k} }$ är bärvågsfördelningsfunktionen som är Fermi –Dirac-fördelningsfunktion för elektroner i termodynamisk jämvikt. Men denna Lindhard-formel är giltig även för icke-jämviktsfördelningsfunktioner. Det kan erhållas genom första ordningens störningsteori och slumpmässig fasapproximation (RPA).

Begränsande fall

För att förstå Lindhard-formeln, överväg några begränsningsfall i 2- och 3-dimensioner. Det 1-dimensionella fallet betraktas också på andra sätt.

Lång våglängdsgräns

I den långa våglängdsgränsen ( $\mathbf {q} \to 0$ ) reducerar Linhard-funktionen till

$\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} =0,\omega )\approx 1-{\frac {\omega _{\rm {pl} }^{2}}{\omega }},}$

där $\omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{ 3}m}}$ är den tredimensionella plasmafrekvensen (i SI-enheter, ersätt faktorn $4\pi$ med $1/\epsilon _{0}$ .) För två -dimensionella system,

$\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^ {2}nq}{\epsilon m}}$ ​​.

Detta resultat återvinner plasmaoscillationerna från den klassiska dielektriska funktionen från Drude-modellen och från kvantmekanisk frielektronmodell .

Härledning i 3D

För Lindhard-formelns nämnare får vi

$E_{\mathbf {k$ ,

och för täljaren av Lindhard-formeln får vi

$f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{ \mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf { k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }$ .

Genom att infoga dessa i Lindhard-formeln och ta $\delta \to 0$ -gränsen får vi

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf { k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\ frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\summa _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}} (1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q } }}{\hbar \omega _{0}}}\summa _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_ {i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{ \frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\summa _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1-V_ {\mathbf {q} }{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2} }{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}.\end{alignedat}}$ ,

där vi använde $E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }$ och $V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}$ .

Härledning i 2D

Tänk först på den långa våglängdsgränsen ( ${\displaystyle q\to 0} )$ .

För nämnaren av Lindhard-formeln,

$E_{\mathbf {k$ ,

och för täljaren,

$f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{ \mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf { k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }$ .

Genom att infoga dessa i Lindhard-formeln och ta gränsen för $\delta \to 0$ får vi

$\ displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k } \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\summa _{ \mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf { k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0} }}\summa _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0 }}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\summa _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_ {\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{ \frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\summa _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i} }}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{ q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k } }}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}} }\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^ {2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{\ rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$

där vi använde ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }} ,$ V $\displaystyle V_ {\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$ och ${ \displaystyle \omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$ ​​.

Statisk gräns

Betrakta den statiska gränsen ( ${\displaystyle \omega +i\delta \to 0} )$ .

Lindhard-formeln blir

$\epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{ \mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf { k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}$ .

Genom att infoga ovanstående likheter för nämnaren och täljaren får vi

$\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_ {\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\ hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$ .

Om vi ​​antar en termisk jämviktsfördelning av Fermi–Dirac-bärare får vi

$\displaystyle \sum _ i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\summa _{i}{q_{i}{\frac {\ partiell f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\summa _{i} {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}}$

här använde vi $E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ och ${\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i }}{m}}$ .

Därför,

${\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} }{\frac { \partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\summa _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\ frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}= 1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{aligned}}$

Här är $\kappa$ 3D-screeningsvågantalet (3D invers screeninglängd) definierat som

$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}$ .

Sedan ges den statiskt 3D-skärmade Coulomb-potentialen av

${\display V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}= {\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q ^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2} }}}$ .

Och den omvända Fourier-transformationen av detta resultat ger

$V_{\rm {s}}(r)=\ summa _{\mathbf {q} }{{\frac {4\pi e^{2}}{L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i\ mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }}={\frac {e^{2}}{r}}e^{-\kappa r}$

känd som Yukawa-potentialen . Observera att i denna Fourier-transformation, som i princip är en summa över alla ${\displaystyle \mathbf {q} } ,$ använde vi uttrycket för liten $|\mathbf {q} |$ för varje värde på $\mathbf {q}$ som inte är korrekt.

Statiskt skärmad potential (övre böjd yta) och Coulomb potential (nedre böjd yta) i tre dimensioner

För en degenererad Fermi-gas ( T =0) ges Fermi-energin av

$E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2} n)^{\frac {2}{3}}$ ,

Så densiteten är

${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar$ .

Vid T =0, $E_{\rm {F}}\equiv \mu$ , så ${\frac {\partial n}{\ partiell \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}$ .

Genom att infoga detta i ovanstående 3D-screeningvågnummerekvation får vi

$\kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\ frac {\partial n}{\partial \mu }}}}={\sqrt {\frac {6\pi e^{2}n}{\epsilon E_{\rm {F}}}}}$ .

Detta resultat återställer 3D-vågsnumret från Thomas–Fermi-screening .

Som referens beskriver Debye–Hückel-screeningen det icke-degenererade gränsfallet. Resultatet är ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}} ,$ känd som 3D Debye –Hückel screening våg nummer.

I två dimensioner är screeningvågstalet

$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {2\pi e^{ 2}}{\epsilon }}{\frac {m}{\hbar ^{2}\pi }}(1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m})={\ frac {2me^{2}}{\hbar ^{2}\epsilon }}f_{k=0}.$

Observera att detta resultat är oberoende av n .

Härledning i 2D

Betrakta den statiska gränsen ( ${\displaystyle \omega +i\delta \to 0} )$ . Lindhard-formeln blir

$} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}}$ .

Genom att infoga ovanstående likheter för nämnaren och täljaren får vi

$\epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_ {\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\ hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$ .

Om vi ​​antar en termisk jämviktsfördelning av Fermi–Dirac-bärare får vi

$\displaystyle \sum _ i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\summa _{i}{q_{i}{\frac {\ partiell f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\summa _{i} {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}}$ .

Därför,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\summa _{\mathbf {k} }{\frac { \partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\summa _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}} κ {\displaystyle \kappa$

$är$ 2D screening wave number(2D invers screening length) definierad som

$\kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac { \partial n}{\partial \mu }}$ .

Sedan ges den 2D statiskt skärmade Coulomb-potentialen av

$V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} , 0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^ {2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}$ .

Det är känt att den kemiska potentialen hos den 2-dimensionella Fermi-gasen ges av

$\mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e ^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}$ ,

och ${\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2 }\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}$ .

Experiment på endimensionella system

Den här gången, överväg några generaliserade fall för att sänka dimensionen. Ju lägre dimensionen är, desto svagare blir avskärmningseffekten. I lägre dimension passerar några av fältlinjerna genom barriärmaterialet, varvid avskärmningen inte har någon effekt. För det 1-dimensionella fallet kan vi gissa att skärmningen endast påverkar fältlinjerna som är mycket nära trådaxeln.

I ett verkligt experiment bör vi också ta hänsyn till 3D-bulkscreeningseffekten även om vi hanterar 1D-fall som den enda glödtråden. Thomas-Fermi-screeningen har applicerats på en elektrongas som är begränsad till en glödtråd och en koaxial cylinder. För ett K ₂ Pt(CN) ₄ Cl _0,32 ·2,6H ₂ 0 filament, fann man att potentialen inom området mellan glödtråden och cylindern varierar som $e^{- k_{\rm {eff}}r}/r$ och dess effektiva skärmlängd är cirka 10 gånger den för metallisk platina .

Se även

• Kohn anomali
• Pomeranchuk instabilitet
• Friedel svängningar

Allmän

•   Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors (4:e upplagan) . World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-609-0 .