Peano yta

Modell av Peano-ytan i Dresden-kollektionen

I matematik är Peano-ytan grafen för tvåvariabelfunktionen

$f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2}).$

Det föreslogs av Giuseppe Peano 1899 som ett motexempel till ett förmodat kriterium för förekomsten av maxima och minima för funktioner för två variabler.

Ytan kallades Peano-ytan ( tyska : Peanosche Fläche ) av Georg Scheffers i hans bok från 1920 Lehrbuch der darstellenden Geometrie . Den har också kallats för Peano-sadeln .

Egenskaper

Peanos yta och dess nivåkurvor för nivå 0 (paraboler, grön och lila)

Funktionen $f(x,y)=(2x^{2}-y)(yx^{2})$ vars grafen är ytan tar positiva värden mellan de två parabolerna $y=x^{2}$ och $y=2x^{2}$ och negativa värden på andra ställen (se diagram). Vid origo , den tredimensionella punkten $(0,0,0)$ på ytan som motsvarar skärningspunkten för de två parabolerna, ytan har en sadelpunkt . Ytan själv har positiv Gauss-krökning i vissa delar och negativ krökning i andra, åtskilda av en annan parabel, vilket antyder att dess Gauss-karta har en Whitney-kusp .

Skärning av Peano-ytan med ett vertikalt plan. Skärningskurvan har ett lokalt maximum vid origo, till höger om bilden, och ett globalt maximum till vänster om bilden, sjunkande grunt mellan dessa två punkter.

är dess skärning med något vertikalt plan genom origo (ett plan med ekvation $y=mx$ eller ${\displaystyle x=0} )$ en kurva som har ett lokalt maximum vid origo, en egenskap som beskrevs av Earle Raymond Hedrick som "paradoxal". Med andra ord, om en punkt börjar vid origo $(0,0)$ för planet och flyttar sig bort från origo längs en rät linje, värdet av ( $(2x^{2}-y)(yx^{2})$ kommer att minska i början av rörelsen. Ändå $(0,0)$ inte ett lokalt maximum för funktionen, eftersom man rör sig längs en parabel som $y={\sqrt {2}}\,x ^{2}$ (i diagram: rött) kommer att få funktionsvärdet att öka.

Peano-ytan är en kvartsyta .

Som ett motexempel

År 1886 publicerade Joseph Alfred Serret en lärobok med ett förslag till kriterier för ytterpunkterna på en yta som ges av $z=f(x_{0}+h,y_{0 }+k)$

"maximum eller minimum äger rum när för värdena av $h$ och $k$ för vilka $d^{2}f$ och $d^ {3}f$ (tredje och fjärde termen) försvinner, $d^{4}f$ (femte termen) har konstant tecknet − eller tecknet +."

Här antas det att de linjära termerna försvinner och Taylor-serien av $f$ har formen $z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$ där $Q(h,k)$ är en kvadratisk form som $ah^{2}+bhk+ck^{2}$ , $C(h,k)$ är en kubisk form med kubiska termer i $h$ och $k$ och $F(h, k)$ är en kvartsform med ett homogent kvartspolynom i $h$ och $k$ . Serret föreslår att om $F(h,k)$ har konstant tecken för alla punkter där $Q(h,k) =C(h,k)=0$ så finns det ett lokalt maximum eller minimum av ytan vid $(x_{0},y_{0})$ .

I sina anteckningar från 1884 till Angelo Genocchis italienska lärobok om kalkyl , Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, hade Peano redan tillhandahållit olika korrekta villkor för en funktion för att uppnå ett lokalt minimum eller lokalt maximum. I 1899 års tyska översättning av samma lärobok gav han denna yta som ett motexempel till Serrets tillstånd. Vid punkten $(0,0,0)$ är Serrets villkor uppfyllda, men denna punkt är en sadelpunkt, inte ett lokalt maximum. Ett relaterat tillstånd till Serrets kritiserades också av Ludwig Scheeffer , som använde Peanos yta som ett motexempel till det i en publikation från 1890, krediterad till Peano.

Modeller

Modeller av Peanos yta ingår i Göttingens samling av matematiska modeller och instrument vid universitetet i Göttingen och i TU Dresdens matematiska modellsamling ( i två olika modeller). Göttingen-modellen var den första nya modellen som lades till i samlingen efter första världskriget, och en av de sista som lagts till i samlingen överlag.

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Peano Surface" . MathWorld .