Kubisk form

I matematik är en kubisk form ett homogent polynom av grad 3, och en kubisk hyperyta är nolluppsättningen av en kubisk form. I fallet med en kubisk form i tre variabler är nollmängden en kubisk plan kurva .

I ( Delone & Faddeev 1964 ) visade Boris Delone och Dmitry Faddeev att binära kubiska former med heltalskoefficienter kan användas för att parametrisera ordningar i kubiska fält . Deras arbete generaliserades i ( Gan, Gross & Savin 2002, §4) för att inkludera alla kubiska ringar (en kubisk ring är en ring som är isomorf till Z ³ som en Z -modul ), vilket ger en diskriminant -bevarande bijektion mellan banor av en GL(2, Z ) -verkan på rymden av integrala binära kubiska former och kubiska ringar upp till isomorfism .

Klassificeringen av reella kubiska former $ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{ 3}$ är kopplad till klassificeringen av navelpunkter på ytor. Ekvivalensklasserna för sådana kubik bildar ett tredimensionellt reellt projektivt utrymme och delmängden av paraboliska former definierar en yta - naveltorus .

Exempel

Anteckningar

Delone, Boris ; Faddeev, Dmitriĭ (1964) [1940, Översatt från ryska av Emma Lehmer och Sue Ann Walker], The theory of irrationalities of the third degree , Translations of Mathematical Monographs, vol. 10, American Mathematical Society, MR 0160744
Gan, Wee-Teck; Gross, Benedict ; Savin, Gordan (2002), "Fourier-koefficienter för modulära former på G ₂ ", Duke Mathematical Journal , 115 (1): 105–169, CiteSeerX 10.1.1.207.3266 , doi : 10.1215/S0012-014512-094512-01412-094512-0012-0012-0012-105 2 , MR 1932327
Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Kubisk form" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Iskovskikh, VA; Popov, VL (2001) [1994], "Cubic hypersurface" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Cubic forms , North-Holland Mathematical Library, vol. 4 (2:a upplagan), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6 , MR 0833513