Pascals pyramid

Pascals pyramids första fem lager. Varje yta (orange rutnät) är Pascals triangel. Pilar visar härledning av två exempeltermer.

Inom matematiken är Pascals pyramid ett tredimensionellt arrangemang av trinomialtalen, som är koefficienterna för trinomialutvidgningen och trinomialfördelningen . Pascals pyramid är den tredimensionella analogen till den tvådimensionella Pascals triangel , som innehåller binomialtalen och relaterar till binomialexpansionen och binomialfördelningen . Binomial- och trinomialtalen, koefficienterna, expansionerna och fördelningarna är delmängder av multinomialkonstruktionerna med samma namn.

Tetraederns struktur

Eftersom tetraedern är ett tredimensionellt föremål är det svårt att visa det på ett papper, en datorskärm eller annat tvådimensionellt medium. Antag att tetraedern är uppdelad i ett antal nivåer, eller golv, eller skivor eller lager. Det översta lagret (spetsen) är märkt "Layer 0". Andra lager kan ses som vyer ovanifrån av tetraedern med de tidigare lagren borttagna. De första sex lagren är följande:

Lager av Pascals pyramid härledda från koefficienter för en upp och nedvänd ternär plot av termerna i expansionen av potenserna i ett trinomial

Lager 0	1

Lager 1	1		1
Lager 1		1

Lager 2	1		2		1
		2		2
			1

Lager 3	1		3		3		1
		3		6		3
			3		3
				1

Lager 4	1		4		6		4		1
		4		12		12		4
			6		12		6
				4		4
					1

Lager 5	1		5		10		10		5		1
		5		20		30		20		5
			10		30		30		10
				10		20		10
					5		5
						1

Lagren av tetraedern har medvetet visats med spetsen nedåt så att de inte individuellt förväxlas med Pascals triangel.

Härledning av de första fem nivåerna i Pascals pyramid – där flera värden pekar på ett tal, summeras värdena

Översikt över tetraedern

Det finns trevägssymmetri för siffrorna i varje lager.
Antalet termer i det n: ^te lagret är det ( n +1) : ^e triangulära talet : ${\frac {(n+1)\ gånger (n+2) )}{2}}$ .
Summan av värdena för talen i det n : ^e lagret är 3 ⁿ .
Varje nummer i valfritt lager är summan av de tre intilliggande talen i lagret ovanför.
Varje siffra i vilket lager som helst är ett enkelt heltalsförhållande mellan de intilliggande talen i samma lager.
Varje tal i vilket lager som helst är en koefficient för trinomialfördelningen och trinomialexpansionen. Detta icke-linjära arrangemang gör det lättare att:
- visa trinomial expansion på ett sammanhängande sätt;
- beräkna koefficienterna för trinomialfördelningen;
- beräkna numren för valfritt tetraederlager.
Siffrorna längs de tre kanterna på det n : ^te lagret är numren på den n ^:te linjen i Pascals triangel. Och nästan alla egenskaper som anges ovan har paralleller med Pascals triangel och multinomialkoefficienter.

Trinomial expansionsanslutning

Antalet tetraeder härleds från trinomial expansion . Det n : ^te lagret är den fristående koefficientmatrisen (inga variabler eller exponenter) för ett trinomiellt uttryck (t.ex.: A + B + C ) upphöjt till n: ^te potensen. Trinomialets n:te potens utökas genom att upprepade gånger multiplicera trinomialet med sig själv:

(A+B+C)^{1}\ gånger (A+B+C )^{n}=(A+B+C)^{n+1}

Varje term i det första uttrycket multipliceras med varje term i det andra uttrycket; och sedan adderas koefficienterna för liknande termer (samma variabler och exponenter) tillsammans. Här är expansionen av ( A+B+C ) ⁴ :

⁰⁰⁰⁰⁰⁰⁰ 1 A ⁴ B C + 4 A ³ B C ¹ + 6 A ² B C ² + 4 A ¹ B C ³ + 1 A B C ⁴ +

⁰⁰
⁰⁰
⁰⁰ 4 A ³ B ¹ C + 12 A ² B ¹ C ¹ + 12 A ¹ B ¹ C ² + 4 A B ¹ C ³ + 6 A ² B ² C + 12 A ¹ B ² C ¹ + 6 A B ² C ² + 4 AiB3C + 4AB3C1 ⁺^_ _ ^_ _ _ _ ^_ _

⁰ 1 A B ⁴ C ⁰

⁰ Att skriva expansionen på detta icke-linjära sätt visar expansionen på ett mer förståeligt sätt. Det gör också sambandet med tetraedern uppenbart - koefficienterna här matchar de för lager 4. Alla implicita koefficienter, variabler och exponenter, som normalt inte skrivs, visas också för att illustrera ett annat samband med tetraedern. (Vanligtvis är "1 A " " A "; " B ¹ " är " B "; och " C " är "1"; etc.) Exponenterna för varje term summerar till lagernumret ( n ), eller 4, I detta fall. Mer signifikant är att värdet av koefficienterna för varje term kan beräknas direkt från exponenterna. Formeln är: $(x + y + z)! / (x! \times y! \times z!)$ , där x, y, z är exponenterna för A, B, C respektive "!" betyder faktoriell (t.ex.: $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ ). Exponentformlerna för det fjärde lagret är:

\textstyle {(4+0+0)! \över 4!\ ​​gånger 0!\ gånger 0!}\ {(3+0+1)!  \över 3!\ gånger 0!\ gånger 1!}\ {(2+0+2)!  \över 2!\ gånger 0!\ gånger 2!}\ {(1+0+3)!  \över 1!\ gånger 0!\ gånger 3!}\ {(0+0+4)!  \över 0!\ gånger 0!\ gånger 4!}

$\textstyle {(3+1+0)! \över 3!\ gånger 1!\ gånger 0!}\ {(2+1+1)! \över 2!\ gånger 1!\ gånger 1!}\ {(1+1+2)! \över 1!\ gånger 1!\ gånger 2!}\ {(0+1+3)! \över 0!\ gånger 1!\ gånger 3!}$

$\textstyle {(2+2+0)! \över 2!\ gånger 2!\ gånger 0!}\ {(1+2+1)! \över 1!\ gånger 2!\ gånger 1!}\ {(0+2+2)! \över 0!\ gånger 2!\ gånger 2!}$

$\textstyle {(1+3+0)! \över 1!\ gånger 3!\ gånger 0!}\ {(0+3+1)! \över 0!\ gånger 3!\ gånger 1!}$

\textstyle {(0+4+0)! \över 0!\ gånger 4!\ ​​gånger 0!}

Exponenterna för varje expansionsterm kan tydligt ses och dessa formler förenklas till expansionskoefficienterna och tetraederkoefficienterna för lager 4.

Trinomial distributionsförbindelse

Antalet tetraeder kan också hittas i trinomialfördelningen . Detta är en diskret sannolikhetsfördelning som används för att bestämma chansen att någon kombination av händelser inträffar givet tre möjliga utfall - antalet sätt som händelserna kan inträffa multipliceras med sannolikheterna för att de skulle inträffa. Formeln för trinomialfördelningen är:

{\frac {n!}{x!y!z!}}(P_{A})^{x}(P_{B}) ^{y}(P_{C})^{z}

där x, y, z är antalet gånger vart och ett av de tre utfallen inträffar; n är antalet försök och är lika med summan av x+y+z ; och P _A , P _B , PC är sannolikheterna för att var och en av de tre händelserna skulle kunna inträffa _.

Till exempel, i ett trevägsval, fick kandidaterna dessa röster: A, 16 %; B, 30%; C, 54%. Hur stor är chansen att en slumpmässigt utvald fokusgrupp på fyra personer skulle innehålla följande väljare: 1 för A, 1 för B, 2 för C? Svaret är:

{\frac {4!}{1!1!2!}}(16\%)^{1} (30\%)^{1}(54\%)^{2}=12\ gånger 0,0140=17\%

Siffran 12 är koefficienten för denna sannolikhet och det är antalet kombinationer som kan fylla denna "112" fokusgrupp. Det finns 15 olika arrangemang av fokusgrupper för fyra personer som kan väljas. Uttryck för alla 15 av dessa koefficienter är:

$\textstyle {4! \över 4!\ gånger 0!\ gånger 0!}\ {4! \över 3!\ gånger 0!\ gånger 1!}\ {4! \över 2!\ gånger 0!\ gånger 2!}\ {4! \över 1!\ gånger 0!\ gånger 3!}\ {4! \över 0!\ gånger 0!\ gånger 4!}$

$\textstyle {4! \över 3!\ gånger 1!\ gånger 0!}\ {4! \över 2!\ gånger 1!\ gånger 1!}\ {4! \över 1!\ gånger 1!\ gånger 2!}\ {4! \över 0!\ gånger 1!\ gånger 3!}$

$\textstyle {4! \över 2!\ gånger 2!\ gånger 0!}\ {4! \över 1!\ gånger 2!\ gånger 1!}\ {4! \över 0!\ gånger 2!\ gånger 2!}$

$\textstyle {4! \över 1!\ gånger 3!\ gånger 0!}\ {4! \över 0!\ gånger 3!\ gånger 1!}$

$\textstyle {4! \över 0!\ gånger 4!\ gånger 0!}$

Täljaren för dessa bråk (ovanför linjen) är densamma för alla uttryck. Det är provstorleken - en grupp med fyra personer - och indikerar att koefficienterna för dessa arrangemang kan hittas på lager 4 av tetraedern. De tre siffrorna på nämnaren (under linjen) är antalet fokusgruppsmedlemmar som röstade på A, B, C respektive.

Stenografi används normalt för att uttrycka kombinatoriska funktioner i följande "välj"-format (som läses som "4 välj 4, 0, 0", etc.).

$\textstyle {4 \choose 4,0,0}\ { 4 \välj 3,0,1}\ {4 \välj 2,0,2}\ {4 \välj 1,0,3}\ {4 \välj 0,0,4}$

$\textstyle {4 \choose 3,1,0}\ {4 \choose 2,1,1}\ {4 \choose 1,1,2}\ {4 \choose 0,1,3}$

$\textstyle {4 \choose 2,2,0}\ {4 \choose 1,2,1}\ { 4 \välj 0,2,2}$

$\textstyle {4 \choose 1,3,0}\ {4 \choose 0,3,1}$

$\textstyle {4 \choose 0,4,0}$

Men värdet av dessa uttryck är fortfarande lika med koefficienterna för det 4:e lagret av tetraedern. Och de kan generaliseras till vilket lager som helst genom att ändra provstorleken ( n ).

Denna notation gör ett enkelt sätt att uttrycka summan av alla koefficienter för lager n :

\textstyle \sum _{x,y,z}{n \choose x,y,z}=3^{n}

.

Addering av koefficienter mellan lager

Siffrorna på varje lager ( n ) av tetraedern är summan av de tre intilliggande talen i lagret ( n −1) "ovanför" det. Detta förhållande är ganska svårt att se utan att blanda ihop lagren. Nedan visas kursiverade lager 3-nummer interfolierade bland fetstilta lager 4-nummer:

1		4		6		4		1
	1		3		3		1
	4		12		12		4
		3		6		3
		6		12		6
			3		3
			4		4
				1
				1

Sambandet illustreras av det nedre, centrala numret 12 i det fjärde lagret. Den är "omgiven" av tre nummer av det 3:e lagret: 6 till "norr", 3 till "sydväst", 3 till "sydöst". (Siffrorna längs kanten har bara två intilliggande nummer i lagret "ovanför" och de tre hörnnumren har bara ett intilliggande nummer i lagret ovan, varför de alltid är "1". De saknade siffrorna kan antas vara " 0", så det finns ingen förlust av allmänhet.) Detta förhållande mellan intilliggande lager kommer till stånd genom den tvåstegs trinomiska expansionsprocessen.

, multipliceras varje term av ( A + B + C ) ^{3 med varje term av (} A + B + C ) ¹ . Endast tre av dessa multiplikationer är av intresse i detta exempel:

Layer 3 term	Multiplicera med	Produktterm
6 A ¹ B ¹ C ¹	1 B ¹	6 A ¹ B ² C ¹
3 A ¹ B ² C ⁰	1 C ¹	3 A ¹ B ² C ¹
⁰ 3 A B ² C ¹	1 A ¹	3 A ¹ B ² C ¹

(Multiplikationen av liknande variabler orsakar addition av exponenter; t.ex.: D ¹ × D ² = D ³ .)

Sedan, i steg 2, resulterar summeringen av liknande termer (samma variabler och exponenter) i: 12 A ¹ B ² C ¹ , som är termen för ( A + B + C ) ⁴ ; medan 12 är koefficienten för det 4:e lagret av tetraedern.

Symboliskt kan den additiva relationen uttryckas som:

C(x,y, z)=C(x-1,y,z)+C(x,y-1,z)+C(x,y,z-1)

där C( x,y,z ) är koefficienten för termen med exponenterna x, y, z och $x+y+z=n$ är tetraederns skikt.

Detta förhållande kommer endast att fungera om den trinomiska expansionen läggs ut på det icke-linjära sättet som det skildras i avsnittet om "trinomiell expansionsförbindelse".

Förhållande mellan koefficienter för samma lager

På varje lager av tetraedern är talen enkla heltalsförhållanden för de intilliggande talen. Detta förhållande illustreras för horisontellt intilliggande par på det 4:e lagret av följande:

1 ⟨1:4⟩ 4 ⟨2:3⟩ 6 ⟨3:2⟩ 4 ⟨4:1⟩ 1 4 ⟨1:3⟩ 12 ⟨2:2⟩ 12 ⟨3:1⟩ 4 6 ⟨1 12 ⟨2:1⟩ 6 4 ⟨1:1⟩ 4 1

Eftersom tetraedern har trevägssymmetri, gäller förhållandet även för diagonala par (i båda riktningarna), såväl som för de horisontella paren som visas.

Kvoten styrs av exponenterna för motsvarande angränsande termer av trinomial expansion. Till exempel är ett förhållande i illustrationen ovan:

4 ⟨1:3⟩ 12

Motsvarande termer för den trinomiska expansionen är:

$4A^{3}B^{1}C^{0}$ och $12A^{2}B^{1}C^{1 }$

Följande regler gäller för koefficienterna för alla intilliggande par av termer av trinomial expansion:

Exponenten för en av variablerna förblir oförändrad ( B i detta fall) och kan ignoreras.
För de andra två variablerna ökar en exponent med 1 och en exponent minskar med 1.
- Exponenterna för A är 3 och 2 (den större är i den vänstra termen).
- Exponenterna för C är 0 och 1 (den större är i rätt term).
Koefficienterna och större exponenter är relaterade:
- 4 × 3 = 12 × 1
- 4/12 = 1/3
Dessa ekvationer ger förhållandet: "1:3".

Reglerna är desamma för alla horisontella och diagonala par. Variablerna A, B, C kommer att ändras.

Detta förhållande ger ett annat (något besvärligt) sätt att beräkna tetraederkoefficienter:

Koefficienten för den intilliggande termen är lika med koefficienten för den aktuella termen multiplicerad med den nuvarande termexponenten för den minskande variabeln dividerad med den intilliggande termexponenten för den ökande variabeln.

Förhållandet mellan de intilliggande koefficienterna kan vara lite tydligare när det uttrycks symboliskt. Varje term kan ha upp till sex angränsande termer:

För x = 0:

C(x,y,z-1)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {z}{y}},\quad C(x,y-1 ,z)=C(x,y,z-1)\cdot {\frac {y}{z}}

För y = 0: $C(x-1,y,z)=C(x,y ,z-1)\cdot {\frac {x}{z}},\quad C(x,y,z-1)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {z}{ x}}$

För z = 0: $C(x,y-1,z)=C(x-1,y,z)\cdot {\frac {y}{x}},\quad C(x -1,y,z)=C(x,y-1,z)\cdot {\frac {x}{y}}$

där C( x,y,z ) är koefficienten och x, y, z är exponenterna. Under dagarna före fickräknare och persondatorer användes detta tillvägagångssätt som en genväg för skolpojkar för att skriva ut binomialexpansion utan tråkiga algebraiska expansioner eller klumpiga faktorberäkningar.

Detta förhållande kommer endast att fungera om den trinomiska expansionen läggs ut på det icke-linjära sättet som det skildras i avsnittet om "trinomiell expansionsförbindelse".

Släktskap med Pascals triangel

Det är välkänt att siffrorna längs de tre yttre kanterna på det n : ^te lagret av tetraedern är samma tal som den n : ^te linjen i Pascals triangel. Men kopplingen är faktiskt mycket mer omfattande än bara en rad med nummer. Detta förhållande illustreras bäst genom att jämföra Pascals triangel ner till linje 4 med lager 4 i tetraedern.

Pascals triangel 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Tetraederlager 4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1

Genom att multiplicera siffrorna för varje linje i Pascals triangel ner till den n: ^te linjen med siffrorna på den n ^:te linjen genereras det n ^:te lagret av tetraedern. I följande exempel är linjerna i Pascals triangel i kursiv stil och tetraederns rader med fet stil.

1

× 1 = 1

1 1 × 4 = 4 4

1 2 1 × 6 = 6 12 6

1 3 3 1 × 4 = 4 12 12 4

1 4 6 4 1 × 1 =

1 4 6 4 1

Multiplikatorerna (1 4 6 4 1) utgör linje 4 i Pascals triangel.

Detta förhållande visar det snabbaste och enklaste sättet att beräkna siffrorna för vilket som helst lager av tetraedern utan att beräkna faktorial, som snabbt blir enorma tal. (Utökade precisionsräknare blir mycket långsamma bortom tetraederlager 200.)

Om koefficienterna för Pascals triangel är märkta C( i,j ) och koefficienterna för tetraedern är märkta C( n,i,j ), där n är tetraederns skikt, i är raden och j är kolumnen , då kan relationen uttryckas symboliskt som:

C(i,j)\ gånger C(n,i)= C(n,i,j),\quad 0\leq i\leq n,\ 0\leq j\leq i

[Det är viktigt att förstå att i, j, n inte är exponenter här, bara sekventiella märkningsindex.]

Paralleller till Pascals triangel och multinomial koefficienter

Den här tabellen sammanfattar egenskaperna för trinomial expansion och trinomialfördelning, och den jämför dem med binomial och multinomial expansion och distribution:

Typ av polynom	binom	tri-nomial	multinomial
Ordningsföljd för polynom	2	3	m
Exempel på polynom	$A+B$	$A+B+C$	$A+B+C+\cdots +M$
Geometrisk struktur	triangel	tetraeder	m -simplex
Elementstruktur	linje	lager	grupp
Symmetri av element	2-vägs	3-vägs	m -väg
Antal termer per element	n +1	( n +1) × ( n +2) / 2	( n +1) × ( n +2) ×... × ( n + m −1) / (( m −1)!) eller ( n + m -1)! / ( n ! × ( m -1)!)
Summan av koefficienter per element	2 ⁿ	3 ⁿ	m ⁿ
Exempel på term	A ^x B ^y	A ^x B ^y C ^z	A ^x B ^y C ^z ...M ^m
Summan av exponenter, alla termer	n	n	n
Koefficientekvation	n ! / ( x ! × y !)	n ! / ( x ! × y ! × z !)	n ! / ( x ₁ ! × x ₂ ! × x ₃ ! ×... × x _m !)
Summan av koefficienterna "ovanför"	2	3	m
Förhållandet mellan intilliggande koefficienter	2	6	m × ( m −1)

^1 En simplex är den enklaste linjära geometriska formen som finns i alla dimensioner. Tetraedrar och trianglar är exempel i 3 respektive 2 dimensioner.
^2 Formeln för binomialkoefficienten uttrycks vanligtvis som: n ! / ( x ! × ( n − x )!); där n − x = y .

Övriga fastigheter

Exponentiell konstruktion

Godtyckligt lager n kan erhållas i ett enda steg med hjälp av följande formel:

\left(b^{d\left(n+1\right)}+b^{d}+1\right)^{n },

där b är radixen och d är antalet siffror i någon av de centrala multinomialkoefficienterna , dvs.

=1+\vänster\lgolv \log _{b}{n \välj k_{1},k_{2},k_{3}}\höger\rgolv,\ \sum _{i=1}^{3} {k_{i}}=n,\ \left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \leq k_{i}\leq \left\lceil {\frac {n}{3}} \right\rceil ,

linda sedan siffrorna i resultatet med d ( n +1), avstånd med d och ta bort inledande nollor.

Denna metod generaliserad till godtycklig dimension kan användas för att erhålla skivor av vilken Pascals simplex som helst .

Exempel

För radix b = 10, n = 5, d = 2:

{\displaystyle \textstyle \left(10^{12}+10^{2}+1\right)^{5}} = 10000000000101 5 = 100000000005050000000010001000001001 5010510100501 1 1 1

 000000000505 ⁰⁰ 00 00 00 05 05 .. .. .. .. .5 .5 000000102010 00 00 00 10 20 10 .. .. .. 10 20 10 ~ 000010303010 0 0 0 0 10 . 30 30 10 .  _  _  _  _

För radix b = 10, n = 20, d = 9:

\textstyle \left(10^{189}+10^{9}+1\höger)^{20}

Pascals pyramidlager #20.

Summan av koefficienterna för ett lager efter rader

Att summera siffrorna i varje rad i ett lager n i Pascals pyramid ger

\left(b^{d}+2\right)^{n},

där b är radixen och d är antalet siffror i summan av den "centrala" raden (den med den största summan).

För radix b = 10:

⁰ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 \ 1 ~ 1 --- 1 \ 1 ~ 02 \ 2 \ 2 ~ 04 \ 3 \ 3 ~ 06 \ 4 \ 4 ~ 08 1 ---- - 1 \ 2 \ 1 ~ 04 \ 3 \ 6 \ 3 ~ 12 \ 6 \12 \ 6 ~ 24 1 02 ---------- 1 \ 3 \ 3 \ 1 ~ 08 \ 4 \12 \12 \ 4 ~ 32 1 04 04 ------------ 1 \ 4 \ 6 \ 4 \ 1 ~ 16 1 06 12 08 --------------- --- 1 08 24 32 16 102  102 ¹ 102 ² 102 ³ 102 ⁴

Summan av koefficienterna för ett lager efter kolumner

Att summera siffrorna i varje kolumn i ett lager n av Pascals pyramid ger

\left(b^{2d}+b^{d}+1\höger)^{n},

där b är radixen och d är antalet siffror i summan av den "centrala" kolumnen (den med den största summan).

För radix b = 10:

⁰ 1 |1| |1|  |1|  |  1|  |  1|  --- 1|  |1 |2|  |2|  |3|  |3|  |  4|  |  4|  |  5|  |  5|  1 ----- 1|  |2|  |1 |3|  |6|  |3|  |  6|  |12|  |  6|  |10|  |20|  |10|  1 1 1 ---------- 1|  |3|  |3|  |1 |  4|  |12|  |12|  |  4|  |10|  |30|  |30|  |10|  1 2 3 2 1 ------------ 1|  |  4|  |  6|  |  4|  |  1 |  5|  |20|  |30|  |20|  |  5|  1 3 6 7 6 3 1 -------------------------- 1|  |  5|  |10|  |10|  |  5|  |  1 1 04 10 16 19 16 10 04 01 -------------------------------- 1 05 15 30 45 51 45 30 15 05 01 111   111 ¹ 111 ² 111 ³ 10101 ⁴ 10101 ⁵

Användande

Inom genetiken är det vanligt att man använder Pascals pyramid för att ta reda på proportionen mellan olika genotyper på samma korsning. Detta görs genom att kontrollera den linje som motsvarar antalet fenotyper (genotyper + 1). Den linjen kommer att vara proportionen. ^{[ ytterligare förklaring behövs ]}

Se även

externa länkar