Pascals simplex

De första fem lagren av Pascals 3-simplex ( Pascals pyramid ) . Varje yta (orange rutnät) är Pascals 2-simplex ( Pascals triangel ) . Pilar visar härledning av två exempeltermer.

I matematik är Pascals simplex en generalisering av Pascals triangel till godtyckliga antal dimensioner , baserat på multinomsatsen .

Generisk Pascal's m -simplex

Låt m ( m > 0) vara ett antal termer av ett polynom och n ( n ≥ 0) vara en potens som polynomet höjs till.

Låt $\wedge ^{m}$ beteckna en Pascals m - simplex . Varje Pascals m - simplex är ett semi-oändligt objekt, som består av en oändlig serie av dess komponenter.

Låt $\wedge _{n}^{m}$ beteckna dess n : ^te komponent, i sig en finit ( m − 1 )- simplex med kantlängden n , med en notationsekvivalent ${ \displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}}$ .

n: ^e komponenten

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}} består av$ koefficienterna för multinomial expansion av ett polynom med m termer upphöjda till makten av n :

$|x|^{n}=\summa _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}x ^{k}};\ \ x\in \mathbb {R} ^{m},\ k\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ n\in \mathbb {N} _{ 0},\ m\in \mathbb {N}$

där $\textstyle |x|=\summa _{i=1}^{m}{x_{i}},\ |k|=\summa _{i=1}^{m}{k_{i}},\ x^{k}=\prod _{i=1}^{m}{x_{i}^{k_ {i}}}$ .

Exempel för $\wedge ^{4}$

Pascals 4-simplex (sekvens A189225 i OEIS ), skivad längs k ₄ . Alla punkter av samma färg tillhör samma n -te komponent, från röd (för n = 0) till blå (för n = 3).

Specifika Pascals förenklingar

Pascals 1-simplex

$\wedge ^{1}$ är inte känd under något speciellt namn.

n: ^e komponenten

${\displaystyle \wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}} ($ en punkt) är koefficienten för multinomial expansion av ett polynom med 1 term upphöjd till potens av n :

$(x_{1})^{n}=\summa _{k_{1}=n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1} };\ \ k_{1},n\i \mathbb {N} _{0}$

Arrangemang av $\vartriangle _{n}^{0}$

$\textstyle {n \choose n}$

som är lika med 1 för alla n .

Pascals 2-simplex

$\wedge ^{2}$ är känd som Pascals triangel (sekvens A007318 i OEIS ).

n: ^e komponenten

${\displaystyle \wedge _{n}^{2}=\vartriangle _{n}^{1}} ($ en linje) består av koefficienterna för binomial expansion av ett polynom med 2 termer upphöjda till makten av n :

$(x_{1}+x_{2})^{n}=\summa _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{ 1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}};\ \ k_{1},k_{2},n\i \mathbb {N } _{0}$

Arrangemang av $\vartriangle _{n}^{1}$

$\textstyle {n \choose n,0},{n \choose n -1,1},\cdots ,{n \choose 1,n-1},{n \choose 0,n}$

Pascals 3-simplex

$\wedge ^{3}$ är känd som Pascals tetraeder (sekvens A046816 i OEIS ).

n: ^e komponenten

${\displaystyle \wedge _{n}^{3}=\vartriangle _{n}^{2}} ($ en triangel) består av koefficienterna för trinomial expansion av ett polynom med 3 termer upphöjda till makten av n :

$(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{n}=\summa _{k_{1}+k_{2}+ k_{3}=n}{n \välj k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{ 3}^{k_{3}};\ \ k_{1},k_{2},k_{3},n\in \mathbb {N} _{0}$

Arrangemang av $\vartriangle _{n}^{2}$

${\ start{aligned}\textstyle {n \choose n,0,0}&,\textstyle {n \choose n-1,1,0},\cdots \cdots ,{n \choose 1,n-1,0} ,{n \välj 0,n,0}\\\textstil {n \välj n-1,0,1}&,\textstil {n \välj n-2,1,1},\cdots \cdots ,{ n \välj 0,n-1,1}\\&\vdots \\\textstil {n \välj 1,0,n-1}&,\textstil {n \välj 0,1,n-1}\\ \textstyle {n \choose 0,0,n}\end{aligned}}$

Egenskaper

Arv av komponenter

${\displaystyle \wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}} är$ numeriskt lika med varje ( m − 1)-yta (där är m + 1 av dem) av ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}} ,$ eller:

$\wedge _{n}^{m}=\vartriangle _{n}^{m-1}\delmängd \ \vartriangle _{n}^{m}=\wedge _{n}^{m+1}$

Av detta följer att hela $\wedge ^{m}$ är ( m + 1)-gångar inkluderade i $\wedge ^{m+1}$ , eller:

$\wedge ^{m}\subset \wedge ^{m+1}$

Exempel

	$\wedge ^{1}$	$\wedge ^{2}$	$\wedge ^{3}$	$\wedge ^{4}$
$\wedge _{0}^{m}$	1	1	1	1
$\wedge _{1}^{m}$	1	1 1	1 1 1	1 1 1 1
$\wedge _{2}^{m}$	1	1 2 1	1 2 1 2 2 1	1 2 1 2 2 1 2 2 2 1
$\wedge _{3}^{m}$	1	1 3 3 1	1 3 3 1 3 6 3 3 3 1	1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 3 6 3 6 6 3 3 3 3 1

För fler termer i ovanstående array, se (sekvens A191358 i OEIS )

Jämlikhet mellan underytor

Omvänt, $\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}$ är ( m + 1) - gånger gränsad av ${\displaystyle \vartriangle _{n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}} ,$ eller:

$\wedge _{n}^{m+1}=\vartriangle _{n}^{m}\supset \vartriangle _ {n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Av detta följer att för givet n är alla i -ansikter numeriskt lika i n : ^te komponenter av alla Pascals ( m > i )-simpliceringar, eller:

$\wedge _{n}^{i+1}=\vartriangel _{n}^{i}\ delmängd \vartriangle _{n}^{m>i}=\wedge _{n}^{m>i+1}$

Exempel

Den 3:e komponenten (2-simplex) i Pascals 3-simplex är begränsad av 3 lika 1-sidor (linjer). Varje 1-sida (linje) är avgränsad av 2 lika 0-sidor (hörn):

2-simplex 1-ytor av 2-simplex 0-ytor av 1-yta 1 3 3 1 1 . . . . . . 1 1 3 3 1 1 . . . . . . 1 3 6 3 3 . . . . 3 . . . 3 3 3 . . 3 . . 1 1 1 .

Dessutom, för alla m och alla n :

$1=\wedge _{n}^{1}=\vartriangle _{n}^{0}\subset \vartriangle _{ n}^{m-1}=\wedge _{n}^{m}$

Antal koefficienter

För den n: ^te komponenten (( m − 1)-simplex) av Pascals m -simplex, ges antalet koefficienter för multinomial expansion den består av av:

${(n-1)+(m-1) \choose (m-1)}+{n+(m-2) \choose (m-2)}={n+(m -1) \choose (m-1)}=\left({\binom {m}{n}}\right),$

(där det senare är flervalsnotationen ) . Vi kan se detta antingen som summan av antalet koefficienter för en ( n − 1): ^e komponent (( m − 1)-simplex) av Pascals m -simplex med antalet koefficienter för en n ^:te komponent (( m − 2)-simplex) av Pascals ( m − 1)-simplex, eller med ett antal av alla möjliga partitioner av en n ^:te potens bland m exponenter.

Exempel

Antal koefficienter för n : ^te komponenten (( m − 1)-simplex) av Pascals m -simplex

m-simplex	n: e komponenten	n = 0	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
1-simplex	0-simplex	1	1	1	1	1	1
2-simplex	1-simplex	1	2	3	4	5	6
3-simplex	2-simplex	1	3	6	10	15	21
4-simplex	3-simplex	1	4	10	20	35	56
5-simplex	4-simplex	1	5	15	35	70	126
6-simplex	5-simplex	1	6	21	56	126	252

Termerna i denna tabell omfattar en Pascal-triangel i formatet av en symmetrisk Pascal-matris .

Symmetri

En n : ^te komponent (( m − 1)-simplex) av Pascals m -simplex har ( m !)-faldig rumssymmetri.

Geometri

Ortogonala axlar $k_{1}...k_{m}$ i m-dimensionellt utrymme, komponentens hörn vid n på varje axel, spetsen vid [0,...,0] för $n=0$ .

Numerisk konstruktion

Omslagen n -te potens av ett stort tal ger omedelbart den n -te komponenten i en Pascals simplex.

$\left|b^{dp}\right|^{ n}=\summa _{|k|=n}{{\binom {n}{k}}b^{dp\cdot k}};\ \ b,d\in \mathbb {N} ,\ n\ i \mathbb {N} _{0},\ k,p\in \mathbb {N} _{0}^{m},\ p:\ p_{1}=0,p_{i}=(n+ 1)^{i-2}$

där $\textstyle b^{dp}=(b ^{dp_{1}},\cdots ,b^{dp_{m}})\in \mathbb {N} ^{m},\ p\cdot k={\sum _{i=1}^{m }{p_{i}k_{i}}}\in \mathbb {N} _{0}$ .