Trinomiell expansion

Lager av Pascals pyramid härledda från koefficienter i en upp och nedvänd ternär plot av termerna i utökningarna av potenserna av ett trinomial – antalet termer är helt klart ett triangulärt tal

I matematik är en trinomial expansion expansionen av en potens av summan av tre termer till monomialer . Utbyggnaden ges av

(a+b+c)^{n }=\summa _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \välj i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\ !j}\;\!c^{k},

där $n är$ $i, j ett$ icke-negativt heltal och summan tas över alla kombinationer av icke-negativa index och $k$ så att $i + j + k = n$ . Trinomialkoefficienterna ges av

{n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.

Denna formel är ett specialfall av multinomformeln för $m = 3$ . Koefficienterna kan definieras med en generalisering av Pascals triangel till tre dimensioner, kallad Pascals pyramid eller Pascals tetraeder.

Egenskaper

Antalet termer i ett expanderat trinomium är det triangulära talet

t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},

där $n$ är exponenten till vilken trinomialet höjs.

Exempel

Ett exempel på en trinomisk expansion med $n=2$ är:

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+ b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

Se även