Additiv funktion

I talteorin är en additiv funktion en aritmetisk funktion f ( n ) av den positiva heltalsvariabeln n så att närhelst a och b är coprime , är funktionen som tillämpas på produkten ab summan av värdena av funktionen som tillämpas på a och b . b :

f(ab)=f(a)+f(b).

Helt additiv

En additiv funktion f ( n ) sägs vara helt additiv om $f(ab)=f(a)+f(b)$ gäller för alla positiva heltal a och b , även när de inte är coprime. Totalt additiv används också i denna mening i analogi med totalt multiplikativa funktioner. Om f är en fullständigt additiv funktion så är f (1) = 0.

Varje helt additiv funktion är additiv, men inte vice versa.

Exempel

Exempel på aritmetiska funktioner som är helt additiva är:

Begränsningen av den logaritmiska funktionen till $\mathbb {N} .$
Multiplicitet av en primfaktor p i n p ^{, det vill säga den} största exponent m för vilken m delar n .
₀ a ( n ) – summan av primtal som dividerar n räknande multiplicitet, ibland kallad sopfr( n ), styrkan av n eller heltalslogaritmen för n (sekvens A001414 i OEIS ). Till exempel:

₀ a (4) = 2 + 2 = 4

₀₀ a (20) = a (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

₀ a (27) = 3 + 3 + 3 = 9

₀₀₀₀ a (144) = a (2) ⁴ · 3 ² ) = a (2 ⁴ ) + a (3 ² ) = 8 + 6 = 14

₀₀₀₀ a (2000) = a (2 ⁴ · 5 ³ ) = a (2 ⁴ ) + a (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

₀ a (2003) = 2003

₀ a (54.032.858.972.279) = 1240658

₀ a (54.032.858.972.302) = 1780417

a (20.802.650.714 ₀ 650.7141)

Den =Ω funktion n ), definierat som det totala antalet primtalsfaktorer av n , räknat multipla faktorer multipla gånger, ibland kallad "Big Omega-funktionen" (sekvens A001222 i OEIS ). Till exempel;

Ω(1) = 0, eftersom 1 inte har några primtalsfaktorer

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000 ) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54.039)2.858. = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4 ;

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) ⋅ ⋅ ⋅ 1 ¹⁹⁹³ 2 ^⋅ 1236661) = 7.

Exempel på aritmetiska funktioner som är additiva men inte helt additiva är:

ω( n ), definierat som det totala antalet distinkta primtalsfaktorer för n (sekvens A001221 i OEIS ). Till exempel:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144 ) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω( 5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3 ω

(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3 ω(54,032,858,2)(54,032,858,2)(

54,032,858,2)(54,032,858,972,54,032,858,972,54,032,858,972,2,

327 415) = 5

a ₁ ( n ) – summan av de distinkta primtalen som delar n , ibland kallad sopf( n ) (sekvens A008472 i OEIS ). Till exempel:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

_a = 1238677

1 ₍ 54.032.858.972.279) = 1238665

a ₁ (54.032.8507 (0.032.858,01) 2 650 704 327 415)

Multiplikativa funktioner

Från valfri additiv funktion $f(n)$ är det möjligt att skapa en relaterad multiplikativ funktion $g(n),$ som är en funktion med egenskapen att när $a$ och $b$ är coprime då:

g(ab)=g(a)\ gånger g(b).

Ett sådant exempel är

g(n)=2^{f(n)}.

Sammanfattande funktioner

Givet en additiv funktion $f$ , låt dess summatoriska funktion definieras av ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x) :=\summa _{n\leq x}f(n)}$ . Genomsnittet av $f$ ges exakt som

{\mathcal {M}}_{f}(x)=\summa _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\ frac {x}{p^{\alpha }}}\höger\rgolv -\vänster\lgolv {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\höger\rgolv \höger).

Sammanfattningsfunktionerna över $f$ kan utökas som ${\mathcal {M}}_{f}( x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))$ där

{\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^ {-1})\\D^{2}(x)&=\summa _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{- \alpha }.\end{aligned}}

Genomsnittet av funktionen $f^{2}$ uttrycks också av dessa funktioner som

{\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).

Det finns alltid en absolut konstant $C_{f}>0$ så att för alla naturliga tal $x\geq 1$ ,

\sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).

Låta

\nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{ B(x)}}\leq z\right\}\!.

Antag att $f$ är en additiv funktion med $-1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\ leq 1$ så att som $x\rightarrow \infty$ ,

B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .

Sedan $\nu (x;z)\sim G(z)$ där $G(z)$ är den gaussiska fördelningsfunktionen

G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.

Exempel på detta resultat relaterat till primtal omega-funktionen och antalet primtalsdelare för skiftade primtal inkluderar följande för fixerad $z\in \mathbb {R}$ där relationerna gäller för $x\gg 1$ :

\#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),

\#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x) G(z).

Se även

Vidare läsning

Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Ring av aritmetiska funktioner ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, s. 97–108) (MSC (2000) 11A25)
Iwaniec och Kowalski, Analytisk talteori , AMS (2004).