Multi-attribut verktyg

Inom beslutsteorin används en multi-attribut utility- funktion för att representera en agents preferenser framför buntar av varor, antingen under förhållanden av säkerhet om resultaten av eventuella val, eller under förhållanden av osäkerhet.

Förberedelser

En person måste välja mellan två eller flera alternativ. Beslutet baseras på alternativens egenskaper .

Det enklaste fallet är när det bara finns ett attribut, t.ex. pengar. Man brukar anta att alla människor föredrar mer pengar framför mindre pengar; därför är problemet i det här fallet trivialt: välj alternativet som ger dig mer pengar.

I verkligheten finns det två eller flera attribut. Till exempel måste en person välja mellan två anställningsalternativ: alternativ A ger honom 12 000 USD per månad och 20 dagars semester, medan alternativ B ger honom 15 000 USD per månad och endast 10 dagars semester. Personen måste välja mellan (12K,20) och (15K,10). Olika människor kan ha olika preferenser. Under vissa förutsättningar kan en persons preferenser representeras av en numerisk funktion. Artikeln ordinal utility beskriver några egenskaper hos sådana funktioner och några sätt på vilka de kan beräknas.

En annan faktor som kan komplicera beslutsproblemet är osäkerhet . Även om det finns minst fyra källor till osäkerhet - attribututfallen och en beslutsfattares oklarhet om: a) de specifika formerna för de individuella attributnyttofunktionerna, b) de aggregerande konstanternas värden och c) huruvida attributnyttofunktionerna är additiva , dessa termer behandlas för närvarande - osäkerhet betyder hädanefter endast slumpmässighet i attributnivåer. Denna osäkerhetskomplikation existerar även när det finns ett enda attribut, t.ex. pengar. Till exempel kan alternativ A vara ett lotteri med 50 % chans att vinna $2, medan alternativ B är att vinna $1 med säkerhet. Personen måste välja mellan lotteriet <2:0.5> och lotteriet <1:1>. Återigen, olika människor kan ha olika preferenser. Återigen, under vissa förhållanden kan inställningarna representeras av en numerisk funktion. Sådana funktioner kallas kardinal nyttofunktioner . Artikeln Von Neumann–Morgensterns bruksteorem beskriver några sätt på vilka de kan beräknas.

Den mest allmänna situationen är att det finns både flera attribut och osäkerhet. Till exempel kan alternativ A vara ett lotteri med 50 % chans att vinna två äpplen och två bananer, medan alternativ B är att vinna två bananer med säkerhet. Beslutet ligger mellan <(2,2):(0,5,0,5)> och <(2,0):(1,0)>. Preferenserna här kan representeras av kardinalfunktioner som tar flera variabler (attributen). Sådana funktioner är fokus i den aktuella artikeln.

Målet är att beräkna en hjälpfunktion $u(x_{1},...,x_{n})$ som representerar personens preferenser på buntarlotterier. Dvs lotteri A föredras framför lotteri B om och endast om förväntan på funktionen $u$ är högre under A än under B:

E_{A}[u(x_{1},.. .,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]

Bedömning av en kardinalfunktion med flera attribut

Om antalet möjliga buntar är ändligt kan u konstrueras direkt som förklarat av von Neumann och Morgenstern (VNM): beställ buntarna från minst föredraget till mest föredraget, tilldela verktyg 0 till det förra och verktyg 1 till det senare, och tilldela till varje bunt däremellan ett verktyg som är lika med sannolikheten för ett likvärdigt lotteri.

Om antalet buntar är oändligt, är ett alternativ att börja med att ignorera slumpen och bedöma en ordinal nyttofunktion v $\displaystyle v(x_{1},..., x_{n})}$ som representerar personens användbarhet på säkra paket. Dvs en bunt x föredras framför en bunt y om och endast om funktionen $v$ är högre för x än för y:

v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1 },...,y_{n})

Den här funktionen konverterar i själva verket problemet med flera attribut till ett problem med enstaka attribut: attributet är $v$ . Sedan kan VNM användas för att konstruera funktionen $u$ .

Observera att u måste vara en positiv monoton transformation av v . Detta betyder att det finns en monotont ökande funktion ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ,$ så att:

u(x_{1},...,x_{n})=r( v(x_{1},...,x_{n}))

Problemet med detta tillvägagångssätt är att det inte är lätt att bedöma funktionen r . När vi bedömer en kardinalfunktion med ett attribut med VNM ställer vi frågor som: "Vilken sannolikhet att vinna $2 motsvarar $1?". Så för att bedöma funktionen r måste vi ställa en fråga som: "Vilken sannolikhet att vinna 2 värdeenheter motsvarar 1 värde?". Den senare frågan är mycket svårare att besvara än den förra, eftersom den handlar om "värde", som är en abstrakt storhet.

En möjlig lösning är att beräkna n endimensionella kardinalfunktioner - en för varje attribut. Anta till exempel att det finns två attribut: äpplen ( $x_{1}$ ) och bananer ( $x_{2}$ ), båda sträcker sig mellan 0 och 99. Med VNM kan vi beräkna följande 1-dimensionella hjälpfunktioner:

$u(x_{1},0)$ - ett kardinalverktyg på äpplen när det inte finns några bananer (domänens södra gräns);
$u(99,x_{2})$ - ett kardinalverktyg på bananer när äpplen är som maximalt (domänens östra gräns).

Använd linjära transformationer, skala funktionerna så att de har samma värde på (99,0).

Sedan, för varje bunt $(x_{1}',x_{2}')$ , hitta en ekvivalent bunt (en bunt med samma v ) som är någon av formen $(x_{1},0)$ eller av formen $(99,x_{2})$ och ställ in dess verktyg till samma nummer.

Ofta kan vissa oberoende egenskaper mellan attribut användas för att göra konstruktionen av en hjälpfunktion lättare.

Additivt oberoende

Den starkaste självständighetsegenskapen kallas additiv oberoende . Två attribut, 1 och 2, kallas additivoberoende , om preferensen mellan två lotterier (definierad som gemensamma sannolikhetsfördelningar på de två attributen) endast beror på deras marginella sannolikhetsfördelningar ( den marginella PD på attribut 1 och den marginella PD på attribut 2 ).

Det betyder till exempel att följande två lotterier är likvärdiga:

$L$ : Ett lotteri med lika chans mellan $(x_{1},x_{2})$ och $(y_{1) },y_{2})$ ;
$M$ : Ett lotteri med lika chans mellan $(x_{1},y_{2})$ och $(y_{1) },x_{2})$ .

I båda dessa lotterier är marginalen PD för attribut 1 50 % för $x_{1}$ och 50 % för $y_{1}$ . På liknande sätt är marginal-PD för attribut 2 50 % för $x_{2}$ och 50 % för $y_{2}$ . Därför, om en agent har tillsatsoberoende verktyg, måste han vara likgiltig mellan dessa två lotterier.

Ett grundläggande resultat i nytto-teorin är att två attribut är additivoberoende, om och endast om deras tvåattributsverktygsfunktion är additiv och har formen:

u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_ {2}(x_{2})

BEVIS:

$\longrightarrow$

Om attributen är additivoberoende är lotterierna $L$ och ${\displaystyle M},$ definierade ovan, ekvivalenta. Detta betyder att deras förväntade nytta är densamma, dvs: $E_{L}[u]=E_{M}[u]$ . Att multiplicera med 2 ger:

u(x_{1},x_{2}) +u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})

Detta gäller för alla val av $x_{i}$ och $y_{i}$ . Antag nu att $y_{1}$ och $y_{2}$ är fixerade. Ställ godtyckligt in $u(y_{1},y_{2})=0$ . Skriv: $u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})$ och $u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})$ . Ovanstående ekvation blir:

u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_ {2}(x_{2})

$\longleftarrow$

Om funktionen u är additiv, då enligt förväntningsreglerna, för varje lotteri $L$ :

E_{L}[u(x_{1},x_ {2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_{2})]

Detta uttryck beror endast på de marginella sannolikhetsfördelningarna för $L$ på de två attributen.

Detta resultat generaliserar till ett valfritt antal attribut: om preferenser framför lotterier på attribut 1,..., n endast beror på deras marginella sannolikhetsfördelningar, så är n -attributens hjälpfunktion additiv:

u(x_{1},\dots ,x_{n})=\summa _{i=1 }^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}

där $u$ och $u_{i}$ är normaliserade till området $[0,1]$ och $k_{i}$ är normaliseringskonstanter.

Mycket av arbetet i teorin om additiv nytta har utförts av Peter C. Fishburn .

Bruksoberoende

En något svagare självständighetsegenskap är bruksoberoende . Attribut 1 är nyttooberoende av attribut 2, om de villkorade preferenserna på lotterier på attribut 1 givet ett konstant värde på attribut 2, inte beror på det konstanta värdet.

Detta innebär till exempel att preferensen mellan ett lotteri $<(x_{1},x_{2}):(y_{1} ,x_{2})>$ och ett lotteri $<(x'_{1},x_{2}):(y '_{1},x_{2})>$ är densamma, oavsett värdet på $x_{2}$ .

Observera att nyttooberoende (i motsats till additivt oberoende) inte är symmetriskt: det är möjligt att attribut 1 är nyttooberoende av attribut 2 och inte vice versa.

Om attribut 1 är nyttooberoende av attribut 2, så är nyttofunktionen för varje värde på attribut 2 en linjär transformation av nyttofunktionen för alla andra värden på attribut 2. Därför kan det skrivas som:

u(x_{1},x_{2})=c_{1 }(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})

när $x_{2}^{0}$ är ett konstant värde för attribut 2. På liknande sätt, Om attribut 2 är nyttooberoende av attribut 1:

u(x_{1},x_{2})=d_{1 }(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})

Om attributen är ömsesidigt nyttooberoende , så har nyttofunktionen u följande multilinjära form :

u(x_{1},x_{ 2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2} )

Där $k$ är en konstant som kan vara positiv, negativ eller 0.

När ${\displaystyle k=0} är$ funktionen u additiv och attributen är additivoberoende.
När $k\neq 0$ är verktygsfunktionen multiplikativ, eftersom den kan skrivas som:

{\displaystyle [ku(x_{1},x_{ 2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]} där

varje term är en linjär transformation

k\cdot +1

för en hjälpfunktion.

Dessa resultat kan generaliseras till valfritt antal attribut. Givet attribut 1,..., n , om någon delmängd av attributen är nyttooberoende av dess komplement, då är n -attributens hjälpfunktion multilinjär och har en av följande former:

Tillsats , eller -
Multiplikativ :

\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n}) =\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}

var:

u $u$ och $i}}$ är normaliserade till området $[0,1]$ ;
K $k_{i}$ är konstanter i ${\displaystyle [0,1]$ }
$k$ är en konstant som är antingen i $(-1,0)$ eller i $\displaystyle (0,\infty )}$ (observera att gränsen när $k\to 0$ är den additiva formen).

Jämförelse av självständighetsbegrepp

Det är användbart att jämföra tre olika begrepp relaterade till oberoende av attribut: Additiv-oberoende (AI), Utility-oberoende (UI) och Preference-oberoende (PI).

AI och UI berör båda preferenser på lotterier och förklaras ovan. PI gäller preferenser för säkra utfall och förklaras i artikeln om ordinal nytta .

Deras implikationsordning är följande:

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI är en symmetrisk relation (om attribut 1 är AI för attribut 2 så är attribut 2 AI för attribut 1), medan UI och PI inte är det.

AI innebär ömsesidigt UI. Det motsatta är i allmänhet inte sant; det är sant endast om $k=0$ i den multilinjära formeln för UI-attribut. Men om det, förutom ömsesidigt användargränssnitt, finns $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ för vilka de två lotterierna $L$ och $M$ , definierade ovan, är ekvivalenta - då måste $k$ vara 0, och det betyder att preferensrelationen måste vara AI.

UI innebär PI. Det motsatta är i allmänhet inte sant. Men om:

det finns minst 3 väsentliga attribut, och:
alla par av attribut {1, i } är PI av deras komplement, och:
attribut 1 är användargränssnittet för dess komplement,

då är alla attribut ömsesidigt UI. Dessutom finns det i det fallet en enkel relation mellan den kardinala nyttofunktionen $u$ som representerar preferenserna på lotterier, och den ordinala nyttofunktionen $v$ som representerar preferenserna på säkra buntar. Funktionen $u$ måste ha en av följande former:

Additiv: $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_ {1},...,x_{n})$
Multiplikativ: $u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R )-1]$

där $R\neq 0$ .

BEVIS: Det är tillräckligt att bevisa att u har konstant absolut riskaversion med avseende på värdet v .

PI-antagandet med $n\geq 3$ innebär att värdefunktionen är additiv, dvs:

v(x_{1},\dots ,x_{n})=\summa _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}

Låt $x_{1},z_{1}$ vara två olika värden för attribut 1. Låt $y_{1}$ vara säkerhetekvivalenten för lotteriet $<x_{1}:z_{1}>$ . Användargränssnittets antagande innebär att för varje kombination $(w_{2},\dots ,w_{n})$ av värden för de andra attributen, gäller följande ekvivalens:

(y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w )>

De två föregående påståendena antyder att för varje w gäller följande ekvivalens i värderymden:

\lambda _{1 }v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1 }v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_ {1}(z_{1})+\summa _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>

Detta innebär att man lägger till valfri kvantitet på båda sidor av ett lotteri (genom termen $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{ i}v_{i}(w_{i})}$ ), ökar lotteriets säkerhet-ekvivalent med samma kvantitet.
Det senare faktumet innebär ständig riskaversion.

Se även