Lexikografiska preferenser

Inom ekonomi beskriver lexikografiska preferenser eller lexikografiska ordningar jämförande preferenser där en agent föredrar vilken mängd som helst av en vara (X) framför vilken mängd som helst av en annan (Y) . Specifikt, om det erbjuds flera paket med varor, kommer agenten att välja det paket som erbjuder mest X, oavsett hur mycket Y det finns. Först när det finns en koppling mellan buntarna med avseende på antalet enheter av X kommer agenten att börja jämföra antalet enheter av Y över buntarna. Lexikografiska preferenser utvidgar nyttoteorin analogt med det sätt som icke-standardiserade infinitesimals utvidgar de reella talen. Med lexikografiska preferenser är användbarheten av vissa varor oändligt liten i jämförelse med andra.

Etymologi

Lexikografi hänvisar till sammanställningen av ordböcker, och är tänkt att åberopa det faktum att en ordbok är organiserad alfabetiskt: med oändlig uppmärksamhet på den första bokstaven i varje ord, och endast i händelse av band med uppmärksamhet till den andra bokstaven i varje ord, etc.

Exempel

Som ett exempel, om för en given bunt (X;Y;Z) en agent beställer sina preferenser enligt regeln X >> Y >> Z, då buntarna {(5;3;3), (5;1; 6), (3,5,3)} skulle beställas, från mest till minst föredraget:

1. 5;3;3
2. 5;1;6
3. 3;5;3

• Även om det första alternativet innehåller färre totala varor än det andra alternativet, är det att föredra eftersom det har fler Y. Observera att antalet X är detsamma, och därför jämför agenten Y.
• Även om det tredje alternativet har samma totala varor som det första alternativet, är det första alternativet fortfarande att föredra eftersom det har fler X.
• Även om det tredje alternativet har mycket mer Y än det andra alternativet, är det andra alternativet fortfarande att föredra eftersom det har mer X.

Avbrott

En lexikografisk preferensrelation är inte en kontinuerlig relation . Detta beror på att för en minskande konvergent sekvens $x_{n}\rightarrow 0$ har vi $(x_{n},0)>(0, 1)$ , medan gränsen (0,0) är mindre än (0,1).

Representation av hjälpfunktioner

Ett utmärkande drag för sådana lexikografiska preferenser är att en multivariat reell domän av en agents preferenser inte mappas till ett reellt värderat intervall . Det vill säga att det inte finns någon verklig representation av en preferensrelation av en hjälpfunktion , vare sig den är kontinuerlig eller inte. Lexikografiska preferenser är det klassiska exemplet på rationella preferenser som inte kan representeras av en hjälpfunktion .

Bevis : anta motsägelsefullt att det finns en hjälpfunktion U som representerar lexikografiska preferenser, t.ex. över två varor. Då måste U( x ,1)>U( x ,0) hålla, så intervallen [ U ( x ,0), U ( x ,1)] måste ha en bredd som inte är noll. Dessutom, eftersom U( x ,1)<U( z ,1) när x < z , måste dessa intervall vara disjunkta för alla x . Detta är inte möjligt för en oräknelig uppsättning x-värden.

Om det finns ett ändligt antal varor, och mängder endast kan vara rationella tal, existerar nyttofunktioner, helt enkelt genom att ta 1/N för att vara storleken på det infinitesimala, där N är tillräckligt stort, för att approximera icke-standardiserade tal.

När det gäller reellt värderad nytta skulle man säga att nyttan av Y och Z är oändlig jämfört med X, och nyttan av Z är oändlig jämfört med Y. Sålunda kan lexikografiska preferenser representeras av hjälpfunktioner som returnerar icke-standardiserade reella tal .

Jämvikt i ekonomier med lexikografiska preferenser

Om alla agenter har samma lexikografiska preferenser, kan generell jämvikt inte existera eftersom agenter inte kommer att sälja till varandra [ (så länge priset på den mindre föredragna är mer än noll ). Men om priset på de mindre eftersökta är noll, så vill alla agenter ha en oändlig mängd av varan. Jämvikt kan inte uppnås med standardpriser. Verktygen är oändliga, men priserna är det inte. Att tillåta oändliga priser löser detta.

Lexikografiska preferenser kan fortfarande existera med allmän jämvikt. Till exempel,

• Olika människor har olika buntar av lexikografiska preferenser så att olika individer värderar föremål i olika ordningsföljder.
• Vissa, men inte alla, har lexikografiska preferenser.
• Lexikografiska preferenser sträcker sig endast till en viss kvantitet av varan.

De icke-standardiserade (oändliga) jämviktspriserna för utbyte kan bestämmas för lexikografisk ordning med hjälp av standardjämviktsmetoder, förutom att använda icke-standardiserade realer som intervallet för både verktyg och priser. Alla satser om förekomsten av priser och jämvikter sträcker sig till fallet med icke-standardiserade verktyg, eftersom de icke-standardiserade realerna bildar en konservativ förlängning, vilket betyder att varje sats som är sant för reals kan utvidgas till de icke-standardiserade realerna och förblir sanna.

Se även

• Lexikografisk optimering

externa länkar

• Lexikografisk preferensrelation kan inte representeras av en hjälpfunktion . Inom Economics.SE
• Känner igen linjära ordrar inbäddade i R2 ordnade lexikografiskt . I Math.SE.
• Lexikografisk multiobjektiv linjär programmering med hjälp av Grossone Methodology: Theory and Algorithm . I Appl. Matematik. och beräkning