Omgivande konstruktion

Inom konform geometri hänvisar den omgivande konstruktionen till en konstruktion av Charles Fefferman och Robin Graham för vilken ett konformt grenrör av dimension n realiseras ( omgivningsmässigt ) som gränsen för ett visst Poincaré-grenrör , eller alternativt som den himmelska sfären av en viss pseudo- Riemannska grenrör.

Den omgivande konstruktionen är kanonisk i den meningen att den endast utförs med hjälp av den konforma klassen för metriken: den är konformt invariant. Konstruktionen fungerar dock bara asymptotiskt , upp till en viss ordningsföljd . Det finns i allmänhet ett hinder för att fortsätta denna förlängning förbi den kritiska ordningen. Obstruktionen i sig är av tensoriell karaktär och är känd som den (konforma) obstruktionstensorn . Det är, tillsammans med Weyl-tensorn , en av de två primitiva invarianterna i konform differentialgeometri.

Bortsett från obstruktionstensorn kan den omgivande konstruktionen användas för att definiera en klass av konformt invarianta differentialoperatorer som kallas GJMS-operatorer .

En relaterad konstruktion är traktorbunten .

Översikt

Modellens platta geometri för den omgivande konstruktionen är den framtida nollkonen i Minkowski-rymden , med ursprunget raderat. Himmelssfären i oändligheten är det konforma grenröret M , och nollstrålarna i könen bestämmer en linjebunt över M . Dessutom bär nollkonen ett mått som degenererar i riktning mot könens generatorer.

Den omgivande konstruktionen i detta platta modellutrymme frågar då: om man är försedd med ett sådant linjeknippe, tillsammans med dess degenererade metriska, i vilken utsträckning är det möjligt att förlänga metriken från nollkonen på ett kanoniskt sätt, och på så sätt återställa omgivningen Minkowski utrymme? I formella termer tillhandahåller den degenererade metriken ett Dirichlet-gränsvillkor för förlängningsproblemet och, när det händer, är det naturliga villkoret att det utökade måttet är Ricci-platt (på grund av normaliseringen av den normala konforma anslutningen.)

Den omgivande konstruktionen generaliserar detta till fallet när M är konformt krökt, först genom att konstruera en naturlig nolllinjebunt N med en degenererad metrik, och sedan lösa det associerade Dirichlet-problemet på N × (-1,1).

Detaljer

Det här avsnittet ger en översikt över konstruktionen, först av nolllinjepaketet och sedan av dess omgivande förlängning.

Nullradspaketet

₀₀ Antag att M är en konform mångfald, och att [ g ] betecknar den konforma metriken definierad på M . Låt π : N → M beteckna den tautologiska subbunten av T ^* M ⊗ T ^* M definierad av alla representanter för den konforma metriken. I termer av ett fast bakgrundsmått g , består N av alla positiva multipler ω ² g av metriken. Det finns en naturlig verkan av R ⁺ på N , given av

\delta _{\omega }g=\omega ^{2}g

Dessutom bär det totala utrymmet av N ett tautologiskt degenererat mått, för om p är en punkt på fibern av π : N → M som motsvarar den konforma representativa g _p , låt då

h_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(\pi _{*}X,\pi _{*}Y).

Detta mått degenererar längs de vertikala riktningarna. Dessutom är den homogen av grad 2 under R ⁺ -verkan på N :

\delta _{\omega }^{*}h=\omega ^{2}h

Låt X vara det vertikala vektorfältet som genererar skalningsåtgärden. Då är följande egenskaper omedelbara:

h ( X ,-) = 0

L _X h = 2 h , där L _X är Lie - derivatan längs vektorfältet X.

Det omgivande utrymmet

Låt N ^~ = N × (-1,1), med den naturliga inneslutningen i : N → N ^~ . Utvidgningarna δ _ω sträcker sig naturligt till N ^~ , och det gör alltså även generatorn X för utvidgningen.

Ett omgivande mått på N ^~ är ett Lorentziskt mått h ^~ så att

Metriken är homogen : δ _ω^* h ^~ = ω ² h ^~
Måttet är en omgivande förlängning : i ^* h ^~ = h , där i ^* är tillbakadraget längs den naturliga inneslutningen.
Måttet är Ricci flat : Ric( h ^~ ) = 0.

Antag att en fast representant för den konforma metriken g och ett lokalt koordinatsystem x = ( x ⁱ ) väljs på M . Dessa inducerar koordinater på N genom att identifiera en punkt i fibern av N med ( x , t ² g ( x )) där t > 0 är fiberkoordinaten. (I dessa koordinater, X = t ∂ _t .) Slutligen, om ρ är en definierande funktion av N i N ^~ som är homogen med grad 0 under utvidgningar, så är ( x , t , ρ) koordinaterna för N ^~ . Dessutom kan varje förlängningsmått som är homogent med grad 2 skrivas i dessa koordinater i formen:

h^{\sim }=t^{2}g_{ ij}(x,\rho )dx^{i}dx^{j}+2\rho dt^{2}+2tdtd\rho ,\,

där g _ij är n ² funktioner med g ( x ,0) = g ( x ), den givna konforma representanten.

Efter en viss beräkning visar man att Ricci-planheten är ekvivalent med följande differentialekvation, där primtal är differentiering med avseende på ρ:

\rho g_{ij}''-\rho g^{kl}g_{ik}'g_{jl}+{\tfrac {1 }{2}}\rho g^{kl}g_{kl}'g_{ij}'+{\frac {2-n}{2}}g_{ij}'-{\tfrac {1}{2} }g^{kl}g_{kl}'g_{ij}+\mathrm {Ric} (g)_{ij}=0.

Man kan sedan formellt lösa denna ekvation som en potensserie i ρ för att erhålla den asymptotiska utvecklingen av omgivningsmetriken utanför nollkonen. Om man till exempel ersätter ρ = 0 och löser det ger

g _ij^′ ( x ,0) = 2 P _ij

där P är Schouten-tensoren . Därefter, genom att differentiera igen och ersätta det kända värdet av g _ij^′ ( x ,0) i ekvationen, kan andraderivatan befinnas vara en multipel av Bach-tensorn . Och så vidare.

Se även

^ Fefferman, C. och Graham, R. "Konformella invarianter", i Élie Cartan et les Mathématiques d'Aujourdui , Asterisque (1985), 95-116.
^ Graham, R., Jenne, R., Mason, LJ och Sparling, GAJ "Conformally invariant powers of the Laplacian I: Existence", Jour. Lond. Matematik. Soc , 46 (1992), 557-565.

Charles Fefferman; Robin Graham, C. (2007). "The Ambient Metric". arXiv : 0710.0919 [ math.DG ].

[1] Fefferman, C. och Graham, R. "Konformella invarianter", i Élie Cartan et les Mathématiques d'Aujourdui , Asterisque (1985), 95-116.

[2] Graham, R., Jenne, R., Mason, LJ och Sparling, GAJ "Conformally invariant powers of the Laplacian I: Existence", Jour. Lond. Matematik. Soc , 46 (1992), 557-565.