Okubo algebra

I algebra är en Okubo-algebra eller pseudo-oktonionalgebra en 8-dimensionell icke-associativ algebra som liknar den som studerats av Susumu Okubo . Okubo-algebror är sammansättningsalgebror , flexibla algebror ( A ( BA ) = ( AB ) A ), Lie-tillåtna algebror och potensassociativa , men är inte associativa, inte alternativa algebror , och har inte ett identitetselement.

Okubos exempel var algebra av 3-x-3 trace -noll komplexa matriser, med produkten av X och Y ges av aXY + bYX – Tr( XY ) I /3 där I är identitetsmatrisen och a och b uppfyller a + b = 3 ab = 1. De hermitiska elementen bildar en 8-dimensionell reell icke-associativ divisionsalgebra . En liknande konstruktion fungerar för vilken kubisk alternativ separerbar algebra som helst över ett fält som innehåller en primitiv kubrot av enhet. En Okubo-algebra är en algebra konstruerad på detta sätt från spår-noll-elementen i en central enkel algebra över ett fält.

Konstruktion av Para-Hurwitz algebra

Unitsammansättningsalgebror kallas Hurwitz-algebror . Om markfältet $K$ är fältet av reella tal och $N$ är positivt-definitivt kallas $A$ för en euklidisk Hurwitz-algebra .

Skalär produkt

Om $K har$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ( a , b ) = 1/2 en karakteristik som inte är lika med 2, så är [ N ( a + b ) − N ( a ) − N ( b )]$ en bilinjär form associerad med den kvadratiska formen $N$ .

Involution i Hurwitz algebror

Förutsatt att $A$ har en multiplikativ enhet, definiera involution och höger och vänster multiplikationsoperatorer med

\displaystyle {{\bar {a}}=-a+2(a,1)1,\,\,\,L(a)b=ab,\,\,\,R(a)b =ba.}

Uppenbarligen är en involution och bevarar den kvadratiska formen. Överlinjenotationen betonar det faktum att komplex- och kvartjonkonjugering är partiella fall av det. Dessa operatörer har följande egenskaper:

Involutionen är en antiautomorfism, dvs $a b = b a$
$a a = N (a) 1 = a a$
$L (a) = L (a) *$ , $R (a) = R (a) *$ , där $*$ betecknar den adjointe operatorn med avseende på formen $( , )$
$Re(a b) = Re(b a)$ där $Re x = (x + x)/2 = (x, 1)$
$Re((a b) c) = Re(a (b c))$
$L (a 2) = L (a) 2$ , $R (a 2) = R (a) 2$ , så att $A$ är en alternativ algebra

Dessa egenskaper bevisas utgående från en polariserad version av identiteten $(a b, a b) = (a, a)(b, b)$ :

\displaystyle {2(a,b)(c,d)=(ac,bd)+(ad,bc).}

Inställning $b = 1$ eller $d = 1$ ger $L (a) = L (a)*$ och $R (c) = R (c)*$ . Därför $Re(a b) = (a b, 1) = (a, b) = (b a, 1) = Re(b a)$ . På liknande sätt $(a b, c) = (a b, c) = (b, a c) = (1, b (a c)) = (1, (b a) c) = (b a, c)$ . Därför $Re(a b) c = ((a b) c, 1) = (a b, c) = (a, c b) = (a (b c), 1) = Re(a (b c))$ . Genom den polariserade identiteten $N (a) (c, d) = (a c, a d) = (a a c, d)$ så $L (a) L(a) = N (a)$ . Tillämpat på 1 ger detta $a a = N (a)$ . Att ersätta $a$ med $a$ ger den andre identitet. Genom att ersätta formeln för $a$ i $L (a) L (a = L (aa .)$ $) L (a) 2 = L (a2)$ får du

Para-Hurwitz algebra

En annan operation $*$ kan definieras i en Hurwitz-algebra som

x * y = x y

Algebra $(A, *)$ är en sammansättningsalgebra som inte är allmänt enhetlig, känd som en para-Hurwitz-algebra . I dimensionerna 4 och 8 är dessa para-quaternion och para-oktonion algebror.

En para-Hurwitz algebra tillfredsställer

(x*y)*x=x*(y*x)=\langle x|x\rangle y\ .

Omvänt är en algebra med en icke-degenererad symmetrisk bilinjär form som uppfyller denna ekvation antingen en para-Hurwitz-algebra eller en åttadimensionell pseudo-oktonionalgebra . På samma sätt, en flexibel algebra tillfredsställande

\langle xy|xy\rangle =\langle x|x\rangle \langle y|y\rangle \

är antingen en Hurwitz-algebra, en para-Hurwitz-algebra eller en åttadimensionell pseudo-oktonionalgebra.

"Okubo_algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Okubo, Susumu (1978), "Pseudo-quaternion and pseudo-octonion algebras", Hadronic Journal , 1 (4): 1250–1278, MR 0510100
Susumu Okubo & J. Marshall Osborn (1981) "Algebras with nondegenerate associative symmetric bilinear forms allowing komposition", Communications in Algebra 9(12): 1233–61, MR 0618901 och 9(20): 2015–703 MR 106 .