Vänster och höger (algebra)

$s a$ $s b$ $s c$ $s d$ $s e$ $s f$ $s g$ …	$a t$ $b t$ $c t$ $d t$ $e t$ $f t$ $g t$ …
Vänstermultiplikation till $s$ och högermultiplikation till $t$ . En abstrakt notation utan någon specifik mening.

I algebra betecknar termerna vänster och höger ordningen för en binär operation (vanligtvis, men inte alltid, kallad " multiplikation ") i icke- kommutativa algebraiska strukturer . En binär operation ∗ skrivs vanligtvis i infixformen :

s * t

Argumentet s placeras på vänster sida, och argumentet $t$ är på höger sida $.$ Även om symbolen för operationen utelämnas, spelar ordningen av $s$ och $t roll (om inte * är kommutativ).$

En dubbelsidig egenskap uppfylls på båda sidor. En ensidig egenskap är relaterad till en (ospecificerad) av två sidor.

Även om termerna liknar varandra, är åtskillnaden mellan vänster och höger i algebraisk språkbruk inte relaterad till vare sig vänster och höger gränser i kalkyl eller till vänster och höger i geometri .

Binär operation som operatör

En binär operation $*$ kan betraktas som en familj av unära operatörer genom currying :

R t (s) = s * t

,

beroende på $t$ som parameter – detta är familjen av rätt operationer. Liknande,

L s (t) = s * t

definierar familjen av vänsteroperationer parametriserade med $s$ .

Om den vänstra operationen $L e för något$ $e$ är identitetsoperationen , så kallas $e en$ vänsteridentitet . På liknande sätt, om $R e = id$ , så är $e$ en rätt identitet.

I ringteorin kallas en subring som är invariant under varje vänstermultiplikation i en ring ett vänsterideal . På liknande sätt är en höger multiplikations-invariant subring ett rätt ideal.

Vänster och höger moduler

Över icke-kommutativa ringar tillämpas åtskillnaden mellan vänster och höger på moduler , nämligen för att ange den sida där en skalär (modulelement) förekommer i skalär multiplikation .

Vänster modul	Höger modul
$s (x + y) = s x + s y$ $(s 1 + s 2) x = s 1 x + s 2 x$ $s (t x) = (s t) x$	$(x + y) t = x t + y t$ $x (t 1 + t 2) = x t 1 + x t 2$ $(x s) t = x (s t)$

Distinktionen är inte rent syntaktisk eftersom man får två olika associativitetsregler (den lägsta raden i tabellen) som länkar multiplikation i en modul med multiplikation i en ring.

En bimodul är samtidigt en vänster och höger modul, med två olika skalära multiplikationsoperationer, som lyder ett associativitetsvillkor på dem. ^{[ vagt ]}

Andra exempel

Vänster egenvektorer
Vänster och höger gruppåtgärder

I kategoriteori

I kategoriteorin har användningen av "vänster" "höger" en viss algebraisk likhet, men hänvisar till vänster och höger sida av morfismer . Se angränsande funktioner .

Se även

Operatörsassociativitet

externa länkar

Barile, Margherita. "rätt ideal" . MathWorld .
Barile, Margherita. "vänsterideal" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "vänster egenvektor" . MathWorld .