Normal konvergens

I matematik är normal konvergens en typ av konvergens för serier av funktioner . Liksom absolut konvergens har den den användbara egenskapen att den bevaras när summeringsordningen ändras.

Historia

Begreppet normal konvergens introducerades först av René Baire 1908 i hans bok Leçons sur les théories générales de l'analyse .

Definition

Givet en mängd S och funktioner ${\displaystyle f_{n}:S\to \mathbb {C} } ($ eller till något normerat vektorrum ), serien

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

kallas normalt konvergent om serien av enhetliga normer för seriens termer konvergerar, dvs.

$\sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|:=\sum _{n=0}^{\infty }\sup _{x\in S}|f_ {n}(x)|<\infty .$

Distinktioner

Normal konvergens innebär, men bör inte förväxlas med, enhetlig absolut konvergens , dvs enhetlig konvergens av serien av icke-negativa funktioner $\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$ . För att illustrera detta, överväg

$f_{n}(x)={\begin{cases}1/n,&x=n,\\0,&x\neq n.\end{cases}}$

Då serien $\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$ är likformigt konvergent (för alla ε ta n ≥ 1/ ε ), men serien av enhetliga normer är den harmoniska serier och divergerar därmed. Ett exempel med kontinuerliga funktioner kan göras genom att ersätta dessa funktioner med bumpfunktioner med höjd 1/ n och bredd 1 centrerad vid varje naturligt tal n .

Likaså skiljer sig normal konvergens av en serie från norm-topologikonvergens , dvs konvergens av den partiella summasekvensen i topologin inducerad av den enhetliga normen. Normal konvergens innebär norm-topologikonvergens om och endast om funktionsutrymmet som beaktas är komplett med avseende på den enhetliga normen. (Det omvända gäller inte ens för fullständiga funktionsutrymmen: se till exempel övertonsserien som en sekvens av konstanta funktioner).

Generaliseringar

Lokal normal konvergens

En serie kan kallas "lokalt normalt konvergent på X " om varje punkt x i X har en grannskap U så att serien av funktioner ƒ _n begränsas till domänen U

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{U}$

är normalt konvergent, dvs sådan att

$\sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}\|_{U}<\infty$

där normen $\|\cdot \|_{U}$ är det högsta över domänen U .

Kompakt normal konvergens

En serie sägs vara "normalt konvergent på kompakta delmängder av X " eller "kompakt normalt konvergent på X " om för varje kompakt delmängd K av X , serien av funktioner ƒn _är begränsad till K

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}\mid _{K}$

är normalt konvergent på K .

Notera : om X är lokalt kompakt (även i den svagaste betydelsen), är lokal normal konvergens och kompakt normal konvergens ekvivalenta.

Egenskaper

• Varje normal konvergent serie är enhetligt konvergent, lokalt enhetligt konvergent och kompakt enhetligt konvergent. Detta är mycket viktigt, eftersom det säkerställer att varje omarrangering av serien, eventuella derivator eller integraler av serien, och summor och produkter med andra konvergerande serier kommer att konvergera till det "rätta" värdet.
• Om $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ normalt är konvergent till $f$ , då eventuellt omarrangemang av sekvensen ( ƒ ₁ , ƒ ₂ , ƒ ₃ ...) konvergerar också normalt till samma ƒ . Det vill säga för varje bijektion $\tau :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ , $\sum _{ n=0}^{\infty }f_{\tau (n)}(x)$ är normalt konvergent till $f$ .

Se även

• Konvergenslägen (kommenterat index)