Uniform absolut konvergens

I matematik är enhetlig absolutkonvergens en typ av konvergens för serier av funktioner . Liksom absolut konvergens har den den användbara egenskapen att den bevaras när summeringsordningen ändras.

Motivering

En konvergent nummerserie kan ofta omordnas på ett sådant sätt att den nya serien divergerar. Detta är dock inte möjligt för serier av icke-negativa tal, så begreppet absolut konvergens utesluter detta fenomen. När man har att göra med enhetligt konvergerande serier av funktioner inträffar samma fenomen: serierna kan potentiellt omordnas till en icke-likformigt konvergent serie, eller en serie som inte ens konvergerar punktvis. Detta är omöjligt för serier av icke-negativa funktioner, så begreppet enhetlig absolut konvergens kan användas för att utesluta dessa möjligheter.

Definition

Givet en mängd X och funktioner ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} } ($ eller till något normerat vektorrum ), serien

$\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$

kallas enhetligt absolut-konvergent om serien av icke-negativa funktioner

$\sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|$

är enhetligt konvergent.

Distinktioner

En serie kan vara enhetligt konvergent och absolut konvergent utan att vara enhetligt absolut konvergent. Till exempel, om ƒ _n ( x ) = x ⁿ / n på det öppna intervallet (−1,0), så konvergerar serien Σ f _n ( x ) likformigt genom att jämföra delsummorna med de för Σ(−1) ⁿ / n , och serien Σ| f _n ( x )| konvergerar absolut vid varje punkt genom det geometriska serietestet, men Σ| f _n ( x )| konvergerar inte enhetligt. Intuitivt beror detta på att den absoluta konvergensen blir långsammare och långsammare när x närmar sig −1, där konvergensen håller men absolut konvergensen misslyckas.

Generaliseringar

Om en serie funktioner är enhetligt absolut-konvergent på någon grannskap av varje punkt i ett topologiskt utrymme, är det lokalt enhetligt absolut-konvergent . Om en serie är enhetligt absolut-konvergent på alla kompakta delmängder av ett topologiskt utrymme, är den kompakt (likformigt) absolut-konvergent . Om det topologiska utrymmet är lokalt kompakt är dessa föreställningar likvärdiga.

Egenskaper

• Om en serie funktioner i C (eller vilket Banach-rymd som helst ) är likformigt absolut-konvergent, så är det likformigt konvergent.
• Uniform absolut konvergens är oberoende av ordningen i en serie. Detta beror på att, för en serie av icke-negativa funktioner, är likformig konvergens ekvivalent med egenskapen att det för alla ε > 0 finns ändligt många termer i serien så att exkludering av dessa termer resulterar i en serie med totalsumman mindre än konstanten funktion ε, och den här egenskapen hänvisar inte till beställningen.

Se även

• Konvergenslägen (kommenterat index)