Normal familj

Inom matematik , med speciell tillämpning på komplex analys , är en normal familj en prekompakt delmängd av utrymmet av kontinuerliga funktioner . Informellt innebär det att funktionerna i familjen inte är utspridda utan snarare håller ihop på ett något "klustret" sätt. Observera att en kompakt familj av kontinuerliga funktioner automatiskt är en normal familj. Ibland, om varje funktion i en normal familj F uppfyller en viss egenskap (t.ex. är holomorf ), så gäller egenskapen också för varje gränspunkt i mängden F .

Mer formellt, låt X och Y vara topologiska rum . Uppsättningen av kontinuerliga funktioner $f:X\to Y$ har en naturlig topologi som kallas kompakt-öppen topologi . En normal familj är en pre-kompakt delmängd med avseende på denna topologi.

Om Y är ett metriskt utrymme , då är den kompakta öppna topologin ekvivalent med topologin för kompakt konvergens, och vi får en definition som är närmare den klassiska: En samling F av kontinuerliga funktioner kallas en normal familj om varje sekvens av funktioner i F innehåller en delsekvens som konvergerar enhetligt på kompakta delmängder av X till en kontinuerlig funktion från X till Y . Det vill säga, för varje sekvens av funktioner i F finns det en undersekvens $f_{n}(x)$ och en kontinuerlig funktion $f(x)$ från X till Y så att följande gäller för varje kompakt delmängd K som finns i X :

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}( f_{n}(x),f(x))=0$

där $d_{Y}$ är måttet för Y .

Normala familjer av holomorfa funktioner

Begreppet uppstod i komplex analys , det vill säga studiet av holomorfa funktioner . I det här fallet X en öppen delmängd av det komplexa planet , Y är det komplexa planet, och metriken på Y ges av $d_{Y}(y_{1},y_{2})=|y_{1}-y_{2}|$ . Som en konsekvens av Cauchys integralsats måste en sekvens av holomorfa funktioner som konvergerar enhetligt på kompakta mängder konvergera till en holomorf funktion. Det vill säga att varje gränspunkt i en normal familj är holomorf.

Normala familjer av holomorfa funktioner ger det snabbaste sättet att bevisa Riemanns kartläggningssats .

Mer generellt, om utrymmena X och Y är Riemann-ytor och Y är utrustad med metriken som kommer från uniformeringssatsen , då är varje gränspunkt för en normal familj av holomorfa funktioner $f:X\to Y$ är också holomorft.

Till exempel, om Y är Riemann-sfären , är måttet för uniformering det sfäriska avståndet . I det här fallet kallas en holomorf funktion från X till Y en meromorf funktion , och därför är varje gränspunkt för en normal familj av meromorfa funktioner en meromorf funktion.

Kriterier

I det klassiska sammanhanget med holomorfa funktioner finns det flera kriterier som kan användas för att fastställa att en mängd är en normal familj: Montels sats säger att en uppsättning lokalt bundna holomorfa funktioner är normal. Montel -Caratheodory- satsen säger att samlingen av meromorfa funktioner som utelämnar värdena noll och ett är normal.

Martys teorem ger ett kriterium som är ekvivalent med definitionen i sammanhanget meromorfa funktioner: En uppsättning F av meromorfa funktioner från en domän $U\subset \mathbb {C}$ till det komplexa planet är en normal familj om och bara om det för varje kompakt delmängd K av U finns en konstant C så att vi för varje $f\in F$ och varje z i K har

${\frac {2|f'(z)|}{1+|f(z)|^{2}}}\leq C.$

Uttrycket till vänster är faktiskt formeln för tillbakadragningen av båglängdselementet på Riemann- sfären till det komplexa planet via inversen av stereografisk projektion .

Historia

Paul Montel myntade termen "normal familj" för första gången 1911. Eftersom begreppet en normal familj ständigt har varit mycket viktigt för komplex analys, används Montels terminologi fortfarande än i dag, även om från ett modernt perspektiv, frasen pre- compact delmängd kan föredras av vissa matematiker. Observera att även om begreppet kompakt öppen topologi generaliserar och förtydligar konceptet, är den ursprungliga definitionen mer praktisk i många tillämpningar.

Se även

• Grundläggande normalitetstest

Anteckningar

• Ahlfors, Lars V. (1953), Komplex analys. En introduktion till teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel, McGraw-Hill
• Ahlfors, Lars V. (1966), Komplex analys. En introduktion till teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel , International Series in Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), McGraw-Hill
•   Ahlfors, Lars V. (1978), Komplex analys. En introduktion till teorin om analytiska funktioner för en komplex variabel , International Series in Pure and Applied Mathematics (3:e upplagan), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
•   Beardon, Alan F. (1979), Complex analysis.The argument principle in analysis and topology , John Wiley & Sons, ISBN 0471996718
•   Chuang, Chi Tai (1993), Normala familjer av meromorfa funktioner , World Scientific, ISBN 9810212577
•   Conway, John B. (1978). Funktioner av en komplex variabel I . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3 .
•   Gamelin, Theodore W. (2001). Komplex analys . Springer-Verlag. ISBN 0-387-95093-1 .
• Marty, Frederic : Recherches sur la répartition des valeurs d'une function méromorphe. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 1931, 28, N 3, sid. 183–261.
• Montel, Paul (1927), Leçons sur les familles normales de fonctions analytiques et leur applications (på franska), Gauthier-Villars
•   Munkres, James R. (2000). Topologi . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2 .
•   Schiff, JL (1993). Normala familjer . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0 .

Den här artikeln innehåller material från normal familj på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .