Montels sats

I komplex analys , ett område av matematik , hänvisar Montels sats till en av två satser om familjer av holomorfa funktioner . Dessa är uppkallade efter den franske matematikern Paul Montel och ger förhållanden under vilka en familj av holomorfa funktioner är normala .

Lokalt enhetligt bundna familjer är normala

Den första, och enklare, versionen av satsen säger att en familj av holomorfa funktioner definierade på en öppen delmängd av de komplexa talen är normal om och endast om den är lokalt enhetligt begränsad.

Denna sats har följande formellt starkare följd. Antag att ${\mathcal {F}}$ är en familj av meromorfa funktioner på en öppen mängd $D$ . Om $z_{0}\in D$ är sådan att ${\mathcal {F}}$ inte är normal vid $z_{0}$ , och ${\ displaystyle U\subset D}$ är en stadsdel av $z_{0}$ , sedan $\bigcup _{f\in {\mathcal {F}}}f(U )$ är tät i det komplexa planet.

Funktioner som utelämnar två värden

Den starkare versionen av Montels sats (ibland kallad Fundamental Normality Test ) säger att en familj av holomorfa funktioner, som alla utelämnar samma två värden $a,b\in \mathbb {C } ,$ är normalt.

Nödvändighet

Villkoren i ovanstående satser är tillräckliga, men inte nödvändiga för normalitet. Faktum är att familjen $\{z\mapsto z\}$ är normal, men utelämnar inte något komplext värde.

Bevis

Den första versionen av Montels sats är en direkt följd av Martys sats (som säger att en familj är normal om och endast om de sfäriska derivaten är lokalt bundna) och Cauchys integralformel .

Denna sats har också kallats Stieltjes–Osgood-satsen, efter Thomas Joannes Stieltjes och William Fogg Osgood .

Följden som anges ovan härleds enligt följande. Antag att alla funktioner i ${\mathcal {F}}$ utelämnar samma grannskap av punkten $z_{1}$ . Genom att efterkomponera med kartan $z\mapsto {\frac {1}{z-z_{1}}}$ får vi en enhetligt avgränsad familj, vilket är normalt med den första versionen av sats.

Den andra versionen av Montels sats kan härledas från den första genom att använda det faktum att det finns ett holomorft universellt skydd från enhetsskivan till det två gånger punkterade planet $\mathbb {C} \setminus \ {a,b\}$ . (En sådan täckning ges av den elliptiska modulfunktionen ).

Denna version av Montels sats kan också härledas från Picards sats , genom att använda Zalcmans lemma .

Relation till satser för hela funktioner

En heuristisk princip känd som Blochs princip (preciserad av Zalcmans lemma ) säger att egenskaper som innebär att en hel funktion är konstant motsvarar egenskaper som säkerställer att en familj av holomorfa funktioner är normala.

Till exempel är den första versionen av Montels sats som anges ovan analogen till Liouvilles sats , medan den andra versionen motsvarar Picards sats .

Se även

• Montel utrymme
• Grundläggande normalitetstest

Anteckningar

•   John B. Conway (1978). Funktioner av en komplex variabel I . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3 .
• "Montel theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
•   JL Schiff (1993). Normala familjer . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0 .

Den här artikeln innehåller material från Montels sats om PlanetMath , som är licensierad under licensen Creative Commons Attribution/Dela Lika .