Mobilitetsanalogi

Mobilitetsanalogin , även kallad admittansanalogi eller Firestone-analogi , är en metod för att representera ett mekaniskt system med ett analogt elektriskt system. Fördelen med att göra detta är att det finns en stor mängd teori- och analystekniker för komplexa elektriska system, speciellt inom filterområdet . Genom att konvertera till en elektrisk representation kan dessa verktyg i den elektriska domänen appliceras direkt på ett mekaniskt system utan modifiering. En ytterligare fördel uppstår i elektromekaniska system : Att konvertera den mekaniska delen av ett sådant system till den elektriska domänen gör att hela systemet kan analyseras som en enhetlig helhet.

Det matematiska beteendet hos det simulerade elektriska systemet är identiskt med det matematiska beteendet hos det representerade mekaniska systemet. Varje element i den elektriska domänen har ett motsvarande element i den mekaniska domänen med en analog konstitutiv ekvation . Alla lagar för kretsanalys , såsom Kirchhoffs lagar, som gäller i den elektriska domänen gäller också för den mekaniska mobilitetsanalogin.

Mobilitetsanalogin är en av de två huvudsakliga mekanisk-elektriska analogierna som används för att representera mekaniska system i den elektriska domänen, den andra är impedansanalogin . Rollerna för spänning och ström är omvända i dessa två metoder, och de elektriska representationerna som produceras är varandras dubbla kretsar . Mobilitetsanalogin bevarar topologin hos det mekaniska systemet när den överförs till den elektriska domänen medan impedansanalogin inte gör det. Å andra sidan bevarar impedansanalogin analogin mellan elektrisk impedans och mekanisk impedans medan mobilitetsanalogin inte gör det.

Ansökningar

Mobilitetsanalogin används ofta för att modellera beteendet hos mekaniska filter . Det här är filter som är avsedda att användas i en elektronisk krets, men som fungerar helt av mekaniska vibrationsvågor. Givare finns vid filtrets ingång och utgång för att konvertera mellan de elektriska och mekaniska domänerna.

En annan mycket vanlig användning är inom området för ljudutrustning, såsom högtalare. Högtalare består av en givare och mekaniska rörliga delar. Akustiska vågor i sig är vågor av mekanisk rörelse: av luftmolekyler eller något annat flytande medium.

Element

Innan en elektrisk analogi kan utvecklas för ett mekaniskt system måste den först beskrivas som ett abstrakt mekaniskt nätverk . Det mekaniska systemet är uppdelat i ett antal idealiska element som var och en sedan kan paras ihop med en elektrisk analog. Symbolerna som används för dessa mekaniska element på nätverksdiagram visas i följande avsnitt om varje enskilt element.

De mekaniska analogierna av klumpade elektriska element är också klumpade element , det vill säga det antas att den mekaniska komponenten som har elementet är tillräckligt liten för att den tid det tar för mekaniska vågor att fortplanta sig från ena änden av komponenten till den andra kan försummas. Analogier kan också utvecklas för distribuerade element såsom transmissionsledningar, men de största fördelarna är med kretsar med klumpade element. Mekaniska analogier krävs för de tre passiva elektriska elementen, nämligen resistans , induktans och kapacitans . Vad dessa analogier är bestäms av vilken mekanisk egenskap som väljs för att representera spänning och vilken egenskap som väljs för att representera ström . I mobilitetsanalogin är spänningsanalogen hastighet och strömanalogen är kraft . Mekanisk impedans definieras som förhållandet mellan kraft och hastighet, så den är inte analog med elektrisk impedans . Snarare är det analogen till elektrisk admittans , inversen av impedans. Mekanisk tillträde kallas mer allmänt rörlighet, därav namnet på analogin.

Motstånd

Den mekaniska symbolen för en spjäll (vänster) och dess elektriska analogi (höger). Symbolen är tänkt att föreställa en instrumentbräda .

Den mekaniska analogin av elektriskt motstånd är förlusten av energi i ett rörligt system genom processer som friktion . En mekanisk komponent analog med ett motstånd är en stötdämpare och egenskapen som är analog med invers resistans (konduktans) är dämpning (invers, eftersom elektrisk impedans är analogin till inversen av mekanisk impedans). Ett motstånd styrs av den konstitutiva ekvationen av Ohms lag ,

i=vG

Den analoga ekvationen i den mekaniska domänen är,

F=uR_{\mathrm {m} }

där,

G = 1/ R är konduktans

R är resistans

v är spänning

i är ström

R _m är mekanisk resistans, eller dämpning

F är kraft

u är hastighet som induceras av kraften.

Elektrisk konduktans representerar den verkliga delen av elektrisk admittans . På samma sätt är mekaniskt motstånd den verkliga delen av mekanisk impedans .

Induktans

Den mekaniska symbolen för ett överensstämmelseelement (vänster) och dess elektriska analogi (höger). Symbolen är tänkt att föreställa en fjäder.

Den mekaniska analogin av induktans i mobilitetsanalogin är compliance. Det är vanligare inom mekanik att diskutera styvhet , det omvända till följsamhet. En mekanisk komponent som är analog med en induktor är en fjäder . En induktor styrs av den konstitutiva ekvationen,

v=L{\frac {di}{dt}}

Den analoga ekvationen i den mekaniska domänen är en form av Hookes lag ,

u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}

där

L är induktansen

t är tiden

C _m = 1/ S är mekanisk följsamhet

S är stelhet

Impedansen för en induktor är rent imaginär och ges av,

Z=j\omega L

Den analoga mekaniska tillträdet ges av,

Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }

där

Z är elektrisk impedans

j är den imaginära enheten

ω är vinkelfrekvens

Y _m är mekanisk tillträde.

Kapacitans

Den mekaniska symbolen för en massa (vänster) och dess elektriska analogi (höger). Den kvadratiska vinkeln under massan är avsedd att indikera att massans rörelse är i förhållande till en referensram.

Den mekaniska analogin av kapacitans i mobilitetsanalogin är massa . En mekanisk komponent som är analog med en kondensator är en stor, stel vikt. En kondensator styrs av den konstitutiva ekvationen,

i=C{\frac {dv}{dt}}

Den analoga ekvationen i den mekaniska domänen är Newtons andra rörelselag ,

F=M{\frac {du}{dt}}

där

C är kapacitans

M är massa

Impedansen hos en kondensator är rent imaginär och ges av,

Z={1 \över j\omega C}

Den analoga mekaniska tillträdet ges av,

Y_{\mathrm {m} }={1 \över j\omega M}

.

Tröghet

En märklig svårighet uppstår med massa som analogin till ett elektriskt element. Det är kopplat till det faktum att i mekaniska system mäts massans hastighet (och ännu viktigare, dess acceleration) alltid mot någon fast referensram, vanligtvis jorden. Betraktad som ett tvåterminalt systemelement har massan en terminal vid hastigheten ''u'', analogt med elektrisk potential. Den andra terminalen har noll hastighet och är analog med elektrisk jordpotential. Således kan massa inte användas som analogen till en ojordad kondensator.

Detta ledde till att Malcolm C. Smith från University of Cambridge 2002 definierade ett nytt energilagrande element för mekaniska nätverk som kallas inertans . En komponent som har tröghet kallas en inerter . De två terminalerna på en inertör, till skillnad från en massa, tillåts ha två olika, godtyckliga hastigheter och accelerationer. Den konstitutiva ekvationen för en inerter ges av,

{\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}- {\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}} där F är en lika stor och motsatt kraft som appliceras på

de

två terminalerna

B är trögheten

u ₁ och u ₂ är hastigheterna vid terminalerna 1 respektive 2

Δ u = u ₂ − u ₁

Tröghet har samma enheter som massa (kilogram i SI-systemet ) och namnet anger dess förhållande till tröghet . Smith definierade inte bara ett nätverksteoretiskt element, han föreslog också en konstruktion för en riktig mekanisk komponent och gjorde en liten prototyp. Smiths inerter består av en kolv som kan glida in eller ut ur en cylinder. Kolven är ansluten till ett kuggstångsdrev som driver ett svänghjul inuti cylindern. Det kan finnas två motroterande svänghjul för att förhindra att ett vridmoment utvecklas. Energi som tillhandahålls när kolven trycks in kommer att återföras när kolven rör sig i motsatt riktning, sålunda lagrar enheten energi snarare än avleder den precis som ett massablock. Den faktiska massan av inertern kan dock vara mycket liten, en ideal inerter har ingen massa. Två punkter på inertern, kolven och cylinderhuset, kan kopplas oberoende till andra delar av det mekaniska systemet utan att någon av dem nödvändigtvis är ansluten till jord.

Smiths inerter har hittat en tillämpning i Formel 1- racing där den är känd som J-dämparen. Den används som ett alternativ till den nu förbjudna trimmade massdämparen och utgör en del av fordonsupphängningen. Det kan ha använts först i hemlighet av McLaren 2005 efter ett samarbete med Smith. Andra lag tros nu använda det. Inertern är mycket mindre än den avstämda massdämparen och jämnar ut i kontaktytan på däcken. Smith föreslår också att du använder inertern för att minska maskinens vibrationer.

Svårigheten med massa i mekaniska analogier är inte begränsad till mobilitetsanalogin. Ett motsvarande problem uppstår också i impedansanalogin, men i så fall är det ojordade induktorer, snarare än kondensatorer, som inte kan representeras med standardelementen.

Resonator

En mekanisk resonator består av både ett masselement och ett eftergivlighetselement. Mekaniska resonatorer är analoga med elektriska LC-kretsar som består av induktans och kapacitans. Verkliga mekaniska komponenter har oundvikligen både massa och följsamhet så det är ett praktiskt förslag att göra resonatorer som en enda komponent. Faktum är att det är svårare att göra en ren massa eller ren överensstämmelse som en enskild komponent. En fjäder kan göras med en viss följsamhet och massa minimeras, eller en massa kan göras med följsamhet minimerad, men ingendera kan elimineras helt. Mekaniska resonatorer är en nyckelkomponent i mekaniska filter.

Generatorer

Den mekaniska symbolen för en konstanthastighetsgenerator (vänster) och dess elektriska analogi (höger)

Den mekaniska symbolen för en konstant kraftgenerator (vänster) och dess elektriska analogi (höger)

Analoger finns för de aktiva elektriska elementen i spänningskällan och strömkällan (generatorer). Den mekaniska analogen i mobilitetsanalogin av konstantströmgeneratorn är konstantkraftsgeneratorn. Den mekaniska analogen till konstantspänningsgeneratorn är konstanthastighetsgeneratorn.

Ett exempel på en konstantkraftsgenerator är konstantkraftsfjädern . Ett exempel på en praktisk konstanthastighetsgenerator är en lätt belastad kraftfull maskin, såsom en motor , som driver en rem . Detta är analogt med en verklig spänningskälla, såsom ett batteri, som förblir nära konstant spänning med belastning förutsatt att belastningsresistansen är mycket högre än batteriets interna resistans.

Givare

Elektromekaniska system kräver omvandlare för att konvertera mellan de elektriska och mekaniska domänerna. De är analoga med tvåportsnätverk och som de kan beskrivas med ett par samtidiga ekvationer och fyra godtyckliga parametrar. Det finns många möjliga representationer, men den form som är mest tillämplig på mobilitetsanalogin har de godtyckliga parametrarna i tillträdesenheter. I matrisform (med den elektriska sidan som port 1) är denna representation,

{\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_ {12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}

Elementet $y_{22}\,$ är kortslutningens mekaniska admittans, det vill säga admittansen som presenteras av den mekaniska sidan av givaren när nollspänning (kortslutning) appliceras på den elektriska sidan. Elementet $y_{11}\,$ är omvänt den obelastade elektriska admittansen, det vill säga admittansen som presenteras för den elektriska sidan när den mekaniska sidan inte driver en last (noll kraft). De återstående två elementen, $y_{21}\,$ och $y_{12}\,$ , beskriver transduktorns framåt- och bakåtöverföringsfunktioner. De är båda analoga med överföringsadmittanser och är hybridförhållanden av en elektrisk och mekanisk kvantitet.

Transformatorer

Den mekaniska analogin med en transformator är en enkel maskin som en remskiva eller en spak . Kraften som appliceras på lasten kan vara större eller mindre än ingångskraften beroende på om den mekaniska fördelen med maskinen är större eller mindre än enhet respektive. Den mekaniska fördelen är analog med det omvända förhållandet mellan transformatorvarv i mobilitetsanalogin. En mekanisk fördel mindre än enhet är analog med en step-up transformator och större än enhet är analog med en step-down transformator.

Effekt- och energiekvationer

Tabell över analoga effekt- och energiekvationer i mobilitetsanalogin
Elektrisk mängd	Elektriskt uttryck	Mekanisk analogi	Mekaniskt uttryck
Energi tillförd	$E=\int vi\ dt$	Energi tillförd	$E=\int Fu\ dt$
Strömförsörjning	$P=vi$	Strömförsörjning	$P=Fu$
Effektförlust i ett motstånd	$P=i^{2}R={v^{2} \over R}$	Effektförlust i ett spjäll	$P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \över R_{\mathrm {m} }}$
Energi lagrad i ett induktormagnetfält	$E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}$	Potentiell energi lagrad i en fjäder	$E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}$
Energi lagrad i ett kondensatorelektriskt fält	$E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}$	Kinetisk energi för en rörlig massa	$E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}$

Exempel

Enkel resonanskrets

Enkel mekanisk resonator (vänster) och dess mobilitetsanalogekvivalenta krets (höger)

Figuren visar ett mekaniskt arrangemang av en plattform med massan _M som är upphängd ovanför substratet av en fjäder av styvhet S och en motståndsdämpare Rm . Mobilitetsanalogekvivalentkretsen visas till höger om detta arrangemang och består av en parallellresonanskrets . Detta system har en resonansfrekvens och kan ha en naturlig oscillationsfrekvens om det inte är för hårt dämpat.

Fördelar och nackdelar

Den huvudsakliga fördelen med mobilitetsanalogin framför dess alternativ, impedansanalogin, är att den bevarar det mekaniska systemets topologi. Element som är i serie i det mekaniska systemet är i serie i den elektriska ekvivalentkretsen och element som är parallella i det mekaniska systemet förblir parallella i den elektriska ekvivalenten.

Den huvudsakliga nackdelen med mobilitetsanalogin är att den inte upprätthåller analogin mellan elektrisk och mekanisk impedans. Mekanisk impedans representeras som en elektrisk admittans och en mekanisk resistans representeras som en elektrisk konduktans i den elektriska ekvivalenta kretsen. Kraft är inte analog med spänning ( generatorspänningar kallas ofta elektromotorisk kraft ), utan snarare analog med ström.

Historia

Historiskt sett användes impedansanalogin långt före mobilitetsanalogin. Mekanisk tillträde och den tillhörande mobilitetsanalogin introducerades av FA Firestone 1932 för att övervinna frågan om att bevara topologier. W. Hähnle hade självständigt samma idé i Tyskland. Horace M. Trent utvecklade en behandling för analogier i allmänhet från ett matematiskt grafteoretiskt perspektiv och introducerade en ny egen analogi.

Bibliografi

Atkins, Tony; Escudier, Marcel, A Dictionary of Mechanical Engineering , Oxford University Press, 2013 ISBN 0199587434 .
Beranek, Leo Leroy; Mellow, Tim J., Acoustics: Sound Fields and Transducers , Academic Press, 2012 ISBN 0123914213 .
Busch-Vishniac, Ilene J., Electromechanical Sensors and Actuators , Springer Science & Business Media, 1999 ISBN 038798495X .
Carr, Joseph J., RF Components and Circuits , Newnes, 2002 ISBN 0-7506-4844-9 .
Debnath, MC; Roy, T., "Överföringsspridningsmatris för icke-uniforma akustiska vågomvandlare på ytan", International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol. 10, iss. 3, sid. 563–581, 1987.
De Groote, Steven, "J-dämpare i Formel 1" , F1 Technical, 27 september 2008.
Eargle, John, Loudspeaker Handbook , Kluwer Academic Publishers, 2003 ISBN 1402075847 .
Fahy, Frank J.; Gardonio, Paolo, Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response , Academic Press, 2007 ISBN 0080471102 .
Findeisen, Dietmar, System Dynamics and Mechanical Vibrations , Springer, 2000 ISBN 3540671447 .
Firestone, Floyd A., "A new analogy between mechanical and electrical systems", Journal of the Acoustical Society of America , vol. 4, s. 249–267 (1932–1933).
Hähnle, W., "Die Darstellung elektromechanischer Gebilde durch rein elektrische Schaltbilder", Wissenschaftliche Veröffentlichungen aus dem Siemens-Konzern , vol. 1, iss. 11, s. 1–23, 1932.
Kleiner, Mendel, Electroacoustics , CRC Press, 2013 ISBN 1439836183 .
Pierce, Allan D., Acoustics: an Introduction to its Physical Principles and Applications , Acoustical Society of America 1989 ISBN 0883186128 .
Pusey, Henry C. (red), 50 years of shock and vibration technology , Shock and Vibration Information Analysis Center, Booz-Allen & Hamilton, Inc., 1996 ISBN 0964694026 .
Smith, Malcolm C., "Synthesis of mechanical networks: the inerter" , IEEE Transactions on Automatic Control , vol. 47, iss. 10, s. 1648–1662, oktober 2002.
Talbot-Smith, Michael, Audio Engineer's Reference Book , Taylor & Francis, 2013 ISBN 1136119736 .
Taylor, John; Huang, Qiuting, CRC Handbook of Electrical Filters , CRC Press, 1997 ISBN 0849389518 .
Trent, Horace M., "Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped physical systems", The Journal of the Acoustical Society of America , vol. 27, s. 500–527, 1955.