Dubbel impedans

Dubbel impedans och dubbelt nätverk är termer som används i elektronisk nätverksanalys . Dualen av en impedans $Z$ är dess reciproka, eller algebraiska invers $Z'={\frac {1}{Z}}$ . Av denna anledning kallas den dubbla impedansen även den inversa impedansen. Ett annat sätt att säga detta är att dualen av $Z$ är admittansen $Y'=Z$ .

Dual av ett nätverk är nätverket vars impedanser är dualerna av de ursprungliga impedanserna. I fallet med ett black-box-nätverk med flera portar måste impedansen som tittar in i varje port vara dual av impedansen för motsvarande port i det dubbla nätverket.

Detta överensstämmer med den allmänna uppfattningen om dualitet av elektriska kretsar, där spänning och ström växlas, etc., eftersom $Z={\frac {V}{I}}$ ger $Z'={\frac {I}{V}}$

Delar av denna artikel eller avsnitt förlitar sig på läsarens kunskap om den komplexa impedansrepresentationen av kondensatorer och induktorer och på kunskap om frekvensdomänrepresentationen av signaler .

Skalade och normaliserade dualer

₀ I fysiska enheter tas dualen med avseende på någon nominell eller karakteristisk impedans . För att göra detta skalas Z och Z' till den nominella impedansen Z så att

${\frac {Z'}{Z_{0}}}={\frac {Z_{0}}{Z}}$

₀₀₀₀₀ Z tas vanligtvis för att vara ett rent reellt tal R, så Z' ändras med en reell faktor på R ² . Med andra ord är den dubbla kretsen kvalitativt samma krets, men alla komponentvärden skalas med ^R2 . Skalfaktorn R ² har dimensionerna Ω ² , så konstanten 1 i det enhetslösa uttrycket skulle faktiskt tilldelas dimensionerna Ω ² i en dimensionsanalys .

Dubbel av grundläggande kretselement

Element	Z	Dubbel	Z'
Motstånd R	$R\,\!$	Dirigent G = R	${\frac {1}{R}}$
Dirigent G	${\frac {1}{G}}$	Motstånd R = G	$G\,\!$
Induktor L	$i\omega L\,\!$	Kondensator C = L	${\frac {1}{i\omega L}}$
Kondensator C	${\frac {1}{i\omega C}}$	Induktor L = C	$i\omega C\,\!$
Serieimpedanser Z = Z 1 + Z 2	$Z_{1}+Z_{2}\,\!$	Parallella insläpp Y = Z 1 + Z 2	${\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}}}$
Parallella impedanser 1/Z = 1/Z 1 + 1/Z 2	$Z=Z_{1}\|Z_{2}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1 }+Z_{2}}}$ ( Parallell summa )	Serietillträde 1/Y = 1/Z 1 + 1/Z 2	${\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}$
Spänningsgenerator V		Strömgenerator I = V
Strömgenerator I		Spänningsgenerator V = I

Grafisk metod

Det finns en grafisk metod för att erhålla dual av ett nätverk som ofta är lättare att använda än det matematiska uttrycket för impedansen. Med utgångspunkt i ett kretsschema för nätverket i fråga, Z, ritas följande steg på diagrammet för att producera Z' ovanpå Z. Vanligtvis kommer Z' att ritas i en annan färg för att hjälpa till att skilja det från originalet, eller, om du använder datorstödd design , kan Z' ritas på ett annat lager.

1. En generator är ansluten till varje port i det ursprungliga nätverket. Syftet med detta steg är att förhindra att portarna "försvinner" i inversionsprocessen. Detta händer eftersom en port som lämnas öppen krets kommer att förvandlas till en kortslutning och försvinna.
2. En prick ritas i mitten av varje nät i nätverket Z. Dessa prickar kommer att bli kretsnoderna för Z'.
3. En ledare dras, som omsluter nätverket Z. Denna ledare blir också en nod av Z'.
4. För varje kretselement i Z dras dess dubbla mellan noderna i mitten av maskorna på vardera sidan av Z. Där Z är på kanten av nätverket, kommer en av dessa noder att vara den omslutande ledaren från föregående steg.

Detta avslutar ritningen av Z'. Denna metod visar också att dualen av ett nät förvandlas till en nod, och dualen av en nod omvandlas till ett nät. Två exempel ges nedan.

Exempel: stjärnnätverk

Ett stjärnnät av induktorer , som kan finnas på en trefastransformator	Ansluter generatorer till de tre portarna	Noder i det dubbla nätverket
Komponenter i det dubbla nätverket	Det dubbla nätverket med originalet borttaget och något omritat för att göra topologin tydligare	Det dubbla nätverket med de tänkta generatorerna borttagna

Det är tydligt att det dubbla av ett stjärnnät av induktorer är ett deltanät av kondensatorer . Denna dubbla krets är inte samma sak som en stjärn-delta (Y-Δ) transformation. En Y-Δ-transform resulterar i en ekvivalent krets , inte en dubbelkrets.

Exempel: Cauer-nätverk

Filter designade med hjälp av Cauers topologi av den första formen är lågpassfilter som består av ett stegnätverk av serieinduktorer och shuntkondensatorer .

Ett lågpassfilter implementerat i Cauer-topologi

Anslutning av generatorer till ingångs- och utgångsportarna

Noder i det dubbla nätverket

Komponenter i det dubbla nätverket

Det dubbla nätverket med originalet borttaget och något omritat för att göra topologin tydligare

Det dubbla av ett Cauer lågpassfilter kan nu ses som fortfarande ett Cauer lågpassfilter. Det förvandlas inte till ett högpassfilter som förväntat. Observera dock att det första elementet nu är en shuntkomponent istället för en seriekomponent.

Se även

• Serieparallell dualitet
• Topologi (elektriska kretsar)
• Dualitet (elektriska kretsar)

Bibliografi

• Redifon Radio Diary, 1970 , s. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.
• Ghosh, Smarajit, Network Theory: Analysis and Synthesis , Prentice Hall of India
•   Guillemin, Ernst A., Introductory Circuit Theory , New York: John Wiley & Sons, 1953 OCLC 535111
•   Suresh, Kumar KS, "Introduktion till nätverkstopologi" kapitel 11 i Electric Circuits And Networks , Pearson Education India, 2010 ISBN 81-317-5511-8 .