Metabolisk kontrollanalys

Metabolisk kontrollanalys ( MCA ) är ett matematiskt ramverk för att beskriva metabola , signalerings- och genetiska vägar . MCA kvantifierar hur variabler, elaster som flöden och artkoncentrationer , beror på nätverksparametrar . I synnerhet kan den beskriva hur nätverksberoende egenskaper, kallade kontrollkoefficienter, beror på lokala egenskaper som kallas elasticiteter eller Elasticitetskoefficienter .

MCA utvecklades ursprungligen för att beskriva kontrollen i metabola vägar men utökades sedan till att beskriva signalering och genetiska nätverk . MCA har ibland också kallats Metabolic Control Theory, men denna terminologi motarbetades ganska starkt av Henrik Kacser , en av grundarna .

Nyare arbete har visat att MCA kan mappas direkt till klassisk kontrollteori och är som sådan ekvivalent.

Biokemisk systemteori är en liknande formalism , men med ganska olika mål. Båda är utvecklingar av en tidigare teoretisk analys av Joseph Higgins.

Kontrollkoefficienter

En kontrollkoefficient mäter den relativa steady state -ändringen i en systemvariabel, t.ex. pathway-flux (J) eller metabolitkoncentration (S), som svar på en relativ förändring i en parameter , t.ex. enzymaktivitet eller steady-state-hastigheten ( ${ \displaystyle v_{i}}$ ) i steg $i$ . De två huvudkontrollkoefficienterna är flödes- och koncentrationskontrollkoefficienterna. Fluxkontrollkoefficienter definieras av

$C_{v_{i}}^{J}=\ vänster({\frac {dJ}{dp}}{\frac {p}{J}}\right){\bigg /}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}} {\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln J}{d\ln v_{i}}}$

och koncentrationskontrollkoefficienter med

$C_{v_{i}}^{S}=\ vänster({\frac {dS}{dp}}{\frac {p}{S}}\right){\bigg /}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}} {\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln S}{d\ln v_{i}}}$

Kontrollkoefficienter mäter effekten av störningar i ett enzym på ett steady-state som kan observeras såsom ett flöde eller metabolitkoncentration. Observera att effekten av en störning kan vara positiv eller negativ beroende på sammanhang. I figuren antas en störning vara vid steg tre. Bilden modifierad och omritad från

.

Summeringssatser

Fluxkontrollsummeringssatsen upptäcktes oberoende av Kacser/Burns-gruppen och Heinrich/Rapoport-gruppen i början av 1970-talet och slutet av 1960-talet . Fluxkontrollsummeringssatsen antyder att metaboliska flöden är systemiska egenskaper och att deras kontroll delas av alla reaktioner i systemet. När en enstaka reaktion ändrar sin kontroll av flödet kompenseras detta av förändringar i kontrollen av samma flöde av alla andra reaktioner.

$\sum _{i}C_{v_{i}}^{J}=1$

$\sum _{i}C_{v_ {i}}^{S}=0$

Elasticitetskoefficienter

Elasticitetskoefficienten mäter det lokala svaret av ett enzym eller annan kemisk reaktion på förändringar i dess miljö . Sådana förändringar inkluderar faktorer som substrat, produkter eller effektorkoncentrationer. För ytterligare information, se den dedikerade sidan vid elasticitetskoefficienter .

Elasticiteter är lokala storheter som mäter effekten av substrat, produkter och effektorer på en given reaktion. De vertikala svarta pilarna representerar enzymkatalys. Bilden omritad och modifierad från

.

Anslutningsteorem

Konnektivitetssatserna är specifika samband mellan elasticiteter och kontrollkoefficienter . De är användbara eftersom de belyser det nära sambandet mellan de kinetiska egenskaperna hos individuella reaktioner och systemegenskaperna hos en väg. Två grundläggande uppsättningar av satser finns, en för flöde och en annan för koncentrationer. Koncentrationsanslutningssatserna delas igen beroende på om systemarten $S_{n}$ skiljer sig från den lokala arten $S_{m}$ .

$\sum _{i}C_{i}^{J}\varepsilon _{S}^{i}=0$

$\sum _{i}C_{i}^{S_{n}}\varepsilon _{S_{m}}^{i}=0\quad n\neq m$

$\sum _{i}C_{i}^{S_{n}}\varepsilon _{S_{m}}^{i}=-1\quad n =m$

Kontrollekvationer

Det är möjligt att kombinera summeringen med konnektivitetssatserna för att få slutna uttryck som relaterar kontrollkoefficienterna till elasticitetskoefficienterna. Tänk till exempel på den enklaste icke-triviala vägen:

$X_{o}\högerpil S\högerpil X_{1}$

Vi antar att $X_{o}$ och $X_{1}$ är fasta gränsarter så att vägen kan nå ett stabilt tillstånd. Låt det första steget ha en hastighet $v_{1}$ och det andra steget $v_{2}$ . Med fokus på flödeskontrollkoefficienterna kan vi skriva en summering och en anslutningssats för denna enkla väg:

$C_{v_{1}}^{J}+C_{v_{2}}^{J}=1$

$C_{v_{1}}^{J}\varepsilon _{S}^{v_{1}}+C_{v_{2}}^{J}\varepsilon _ {S}^{v_{2}}=0$

Med hjälp av dessa två ekvationer kan vi lösa för flödeskontrollkoefficienterna att ge

$C_{v_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{S}^{2}}{\varepsilon _{ S}^{2}-\varepsilon _{S}^{1}}}$

$C_{v_{2}}^{J} ={\frac {-\varepsilon _{S}^{1}}{\varepsilon _{S}^{2}-\varepsilon _{S}^{1}}}$

Med hjälp av dessa ekvationer kan vi titta på några enkla extrema beteenden. Låt oss till exempel anta att det första steget är helt okänsligt för sin produkt (dvs inte reagerar med den), S, sedan $\varepsilon _{S}^{v_{1}}=0$ . I detta fall minskar styrkoefficienterna till

$C_{v_{1}}^{J}=1$

$C_{v_{2}}^{J}=0$

Det är allt kontrollen (eller känsligheten) är på det första steget. Denna situation representerar det klassiska hastighetsbegränsande steget som ofta nämns i läroböcker. Fluxet genom vägen är helt beroende av det första steget. Under dessa förhållanden kan inget annat steg i vägen påverka flödet. Effekten är dock beroende av att det första steget är fullständigt okänsligt för produkten. En sådan situation är sannolikt sällsynt i verkliga vägar. I själva verket har det klassiska hastighetsbegränsande steget nästan aldrig observerats experimentellt. Istället observeras ett antal begränsningar, där vissa steg har mer begränsning (kontroll) än andra.

Vi kan också härleda koncentrationskontrollkoefficienterna för den enkla tvåstegsvägen:

$C_{v_{1}}^{S}={\frac {1}{\varepsilon _{S}^{2}-\varepsilon _{ S}^{1}}}$

$C_{v_{2}}^{S}={\frac {-1}{\varepsilon _{ S}^{2}-\varepsilon _{S}^{1}}}$

Trestegs väg

Tänk på den enkla vägen i tre steg:

$X_{o}\högerpil S_{1}\högerpil S_{2}\högerpil X_{1}$

där $X_{o}$ och $X_{1}$ är fasta gränsarter, kan kontrollekvationerna för denna väg härledas på ett liknande sätt som den enkla tvåstegsvägen även om det är något tråkigare.

$C_{e_{1}}^{J}=\varepsilon _{1}^{2}\varepsilon _{2}^{3}/D$

$C_{e_{2}}^{J}=-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3 }/D$

$C_{e_{3}}^{J}=\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{ 2}/D$

där D nämnaren ges av

$D=\varepsilon _{1}^{2}\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3}+\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{2}$

Observera att varje term i täljaren förekommer i nämnaren, detta säkerställer att summeringssatsen för flödeskontrollkoefficienten är uppfylld.

På samma sätt kan koncentrationskontrollkoefficienterna också härledas, för $S_{1}$

$C_{e_{1}}^{S_{1}}=(\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _ {2}^{2})/D$

$C_{e_{2}}^{S_{1}}=-\varepsilon _{2}^{ 3}/D$

$C_{e_{3}}^{S_{1}}=\varepsilon _{2}^{2}/D$

Och för $S_{2}$

$C_{e_{1}}^{S_{2}}=\varepsilon _{1}^{2}/D$

$C_{e_{2}}^{S_{2}}=-\varepsilon _{1}^{1}/D$

$C_{e_{3}}^{S_{2}}=(\varepsilon _{1}^{1}-\varepsilon _{1}^{2})/D$

Observera att nämnarna förblir desamma som tidigare och fungerar som en normaliserande faktor.

Härledning med hjälp av störningar

Kontrollekvationer kan också härledas genom att beakta effekten av störningar på systemet. Tänk på att reaktionshastigheterna $v_{1}$ och $v_{2}$ bestäms av två enzymer $e_{1}$ och $e_{2}$ respektive. Ändring av något av enzymerna kommer att resultera i en förändring av steady state-nivån för $x$ och steady state-reaktionshastigheterna $v$ . Betrakta en liten förändring i $e_{1}$ av storleken $\delta e_{1}$ . Detta kommer att ha ett antal effekter, det kommer att öka $v_{1}$ vilket i sin tur kommer att öka $x$ vilket i sin tur ökar $v_{2}$ . Så småningom kommer systemet att sätta sig till ett nytt stabilt tillstånd. Vi kan beskriva dessa förändringar genom att fokusera på förändringen i $v_{1}$ och $v_{2}$ . Förändringen i $v_{2}$ , som vi betecknar $\delta v_{2}$ , kom till som ett resultat av förändringen $\delta x$ . Eftersom vi endast överväger små förändringar kan vi uttrycka förändringen $\delta v_{2}$ i termer av $\delta x$ med hjälp av relationen

$\delta v_{2}={\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x$

där derivatan $\partial v_{2}/\partial x$ mäter hur lyhörd $v_{2}$ är för ändringar i $x$ . Derivatan kan beräknas om vi känner till kurslagen för $v_{2}$ . Om vi ​​till exempel antar att hastighetslagen är $v_{2}=k_{2}x$ så är derivatan $k_{2}$ . Vi kan också använda en liknande strategi för att beräkna förändringen i $v_{1}$ som ett resultat av förändringen $\delta e_{1}$ . Den här gången är ändringen i $v_{1}$ ett resultat av två ändringar, ändringen i $e_{1}$ själv och ändringen i $x$ . Vi kan uttrycka dessa förändringar genom att summera de två individuella bidragen:

$\delta v_{1}={\frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}} }\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x$

Vi har två ekvationer, en som beskriver förändringen i $v_{1}$ och den andra i $v_{2}$ . Eftersom vi tillät systemet att sätta sig till ett nytt steady state kan vi också konstatera att förändringen i reaktionshastigheterna måste vara densamma (annars skulle det inte vara i steady state). Det vill säga vi kan hävda att $\delta v_{1}=\delta v_{2}$ . Med detta i åtanke sätter vi likhetstecken mellan de två ekvationerna och skriver

${\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x={ \frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x$

När vi löser förhållandet $\delta x/\delta e_{1}$ får vi:

${\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\dfrac {- {\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1} }{\partial x}}}}$

I limiten, när vi gör ändringen $\delta e_{1}$ mindre och mindre, konvergerar den vänstra sidan till derivatan $dx/de_{1}$ :

$\lim _{\delta e_{1}\högerpil 0}{\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\frac {dx}{de_{1}}}={\dfrac {-{\dfrac {\partial v_{1}} {\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}}}$

Vi kan gå ett steg längre och skala derivaten för att eliminera enheter. Att multiplicera båda sidor med $e_{1}$ och dividera båda sidor med $x$ ger de skalade derivatorna:

${\frac {dx}{de_{1 }}}{\frac {e_{1}}{x}}={\frac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}{\dfrac {e_{1} }{v_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{2}}}-{\dfrac {\partial v_{1 }}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{1}}}}}$

De skalade derivatorna på höger sida är elasticiteterna, $\varepsilon _{x}^{v}$ och den skalade vänstra termen är den skalade känslighetskoefficienten eller koncentrationskontrollkoefficienten, $C_{e}^{x}$

$C_{e_{1}}^{x}={\frac {\varepsilon _{e_{1}}^{1}}{ \varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}$

Vi kan förenkla detta uttryck ytterligare. Reaktionshastigheten $v_{1}$ är vanligtvis en linjär funktion av $e_{1}$ . Till exempel, i Briggs–Haldane-ekvationen, ges reaktionshastigheten av $v=e_{1}k_{cat}x/(K_{ m}+x)$ . Att differentiera denna hastighetslag med avseende på $e_{1}$ och skalning ger $\varepsilon _{e_{1}}^{v_{1}}=1$ .

Att använda detta resultat ger:

$C_{e_{1}}^{x}={\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{ x}^{1}}}$

En liknande analys kan göras där $e_{2}$ är störd. I det här fallet får vi känsligheten för $x$ med avseende på $e_{2}$ :

$C_{e_{2}}^{x}=-{\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}$

Ovanstående uttryck mäter hur mycket enzymer $e_{1}$ och $e_{2}$ styr steady state-koncentrationen av intermediär $x$ . Vi kan också överväga hur steady state reaktionshastigheterna $v_{1}$ och $v_{2}$ påverkas av störningar i $e_{1}$ och ${ \displaystyle e_{2}}$ . Detta är ofta viktigt för ämnesomsättningsingenjörer som är intresserade av att öka produktionstakten. Vid steady state kallas reaktionshastigheterna ofta för flöden och förkortas till $J_{1}$ och $J_{2}$ . För en linjär väg som detta exempel är båda flödena lika vid steady-state så att flödet genom vägen helt enkelt refereras till som $J$ . Att uttrycka förändringen i flöde som ett resultat av en störning i $e_{1}$ och ta gränsen som tidigare får vi

$C_{e_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}},\quad C_{e_{2}}^{J} ={\frac {-\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}$

Ovanstående uttryck talar om för oss hur mycket enzymer $e_{1}$ och $e_{2}$ styr steady state-flödet. Nyckelpunkten här är att förändringar i enzymkoncentrationen, eller motsvarande enzymaktiviteten, måste åstadkommas av en yttre verkan.

Egenskaper för en linjär bana

En linjär kedja av enzymkatalyserade reaktionssteg utan en negativ återkopplingsslinga är den enklaste vägen att överväga. Figuren nedan visar en trestegs linjär kedja.

Vi kan anta att varje reaktion är reversibel och att gränsarterna, $X_{o}$ och $X_{1}$ är fixerade så att vägen kan nå ett stabilt tillstånd.

Analytiska lösningar för kontrollkoefficienterna kan erhållas om vi antar enkel massverkanskinetik för varje reaktionssteg:

$v_{i}=k_{i}s_{i-1}-k_{-i}s_{i}$

där $k_{i}$ och $k_{-1}$ är frekvenskonstanterna framåt respektive bakåt. $s_{i-1}$ är substratet och $s_{i}$ produkten. Om vi ​​minns att jämviktskonstanten för denna enkla reaktion är:

$K_{eq}=q_{i}={\frac {k_{i}}{k_{-i}}}= {\frac {s_{i}}{s_{i-1}}}$

vi kan modifiera den kinetiska massverkansekvationen till att vara:

$v_{i}=k_{i}\left(s_{i-1}-{\frac {s_{i}}{q_{ i}}}\right)$

Givet reaktionshastigheterna kan differentialekvationerna som beskriver förändringshastigheterna för arterna beskrivas. Till exempel kommer förändringshastigheten för $s_{1}$ att vara lika med:

${\frac {ds_{1}}{dt}}=k_{1}\ vänster(x_{0}-{\frac {s_{1}}{q_{1}}}\right)-k_{2}\left(s_{1}-{\frac {s_{2}}{q_ {2}}}\right)$

Genom att sätta differentialekvationerna till noll, kan steady-state-koncentrationen för arten härledas, från vilken vägflödesekvationen också kan bestämmas. För trestegsvägen ges steady-state-koncentrationerna av $s_{1}$ och ${\displaystyle s_{2}} av:$

${\begin{aligned}&s_{1}={\frac {q_{1}}{q_{3}}}{\frac {k_{2}k_{3}x_{ 1}+k_{1}k_{2}q_{3}x_{o}+k_{1}k_{3}q_{2}q_{3}x_{o}}{k_{1}k_{2} +k_{1}k_{3}q_{2}+k_{2}k_{3}q_{1}q_{2}}}\\[6pt]&s_{2}={\frac {q_{2} }{q_{3}}}{\frac {k_{1}k_{3}x_{1}+k_{2}k_{3}q_{1}x_{1}+k_{1}k_{2} q_{1}q_{3}x_{o}}{k_{1}k_{2}+k_{1}k_{3}q_{2}+k_{2}k_{3}q_{1}q_{ 2}}}\end{aligned}}$

Om du infogar antingen $s_{1}$ eller $s_{2}$ i en av hastighetslagarna kommer det att ge flödet av stationärt tillstånd, $J$ :

$J={\frac {x_{o}q_ {1}q_{2}q_{3}-x_{1}}{{\frac {1}{k_{1}}}q_{1}q_{2}q_{3}+{\frac {1} {k_{2}}}q_{2}q_{3}+{\frac {1}{k_{3}}}q_{3}}}$

Ett mönster kan ses i denna ekvation så att, i allmänhet, för en linjär bana med $n$ steg, flödet av steady-state-vägen ges av:

$J={\frac {x_{o}\prod _{i= 1}^{n}q_{i}-x_{1}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{k_{i}}}\left(\prod _{j =i}^{n}q_{j}\right)}}$

Observera att vägflödet är en funktion av alla kinetiska och termodynamiska parametrar. Det betyder att det inte finns någon enskild parameter som bestämmer flödet helt. Om $k_{i}$ likställs med enzymaktivitet, så har varje enzym i vägen visst inflytande över flödet. Givet flödesuttrycket är det möjligt att härleda flödeskontrollkoefficienterna genom differentiering och skalning av flödesuttrycket. Detta kan göras för det allmänna fallet med $n$ steg:

$C_{i}^{J}={\frac {{\frac {1 }{k_{i}}}\prod _{j=i}^{n}q_{j}}{\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{k_{j}} }\prod _{k=j}^{n}q_{k}}}$

Detta resultat ger två följder:

• Summan av flödesregleringskoefficienterna är en. Detta bekräftar summeringssatsen.
• Värdet på en individuell flödeskontrollkoefficient i en linjär reaktionskedja är större än eller mindre än ett: $0\leq C_{i}^{J}\geq 1$

För den linjära trestegskedjan ges flödeskontrollkoefficienterna av:

$C_{1}^{J}={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {q_{1}q_{2}q_{3 }}{d}};\quad C_{2}^{J}={\frac {1}{k_{2}}}{\frac {q_{2}q_{3}}{d}};\ quad C_{3}^{J}={\frac {1}{k_{3}}}{\frac {q_{3}}{d}}$

där $d$ ges av:

$d={\frac {1}{k_{1}}}q_{1}q_{2 }q_{3}+{\frac {1}{k_{2}}}q_{2}q_{3}+{\frac {1}{k_{3}}}q_{3}$

Med tanke på dessa resultat finns det några omedelbara observationer:

• Om alla tre stegen har stora jämviktskonstanter, det vill säga $q_{i}\gg 1$ , så tenderar $C_{1}^{J}$ till en och de återstående koefficienterna tenderar till noll.
• Om jämviktskonstanterna är mindre tenderar kontrollen att fördelas över alla tre stegen.

Anledningen till att kontrollen blir mer fördelad är att med mer moderata jämviktskonstanter kan störningar lättare färdas uppströms såväl som nedströms. Till exempel är en störning i det sista steget, $k_{3}$ , bättre i stånd att påverka reaktionshastigheterna uppströms, vilket resulterar i en förändring av flödet i stabilt tillstånd.

Ett viktigt resultat kan erhållas om vi sätter alla $k_{i}$ lika med varandra. Under dessa förhållanden är flödesregleringskoefficienten proportionell mot täljaren. Det är:

${\begin{aligned}C_{1}^{J}&\propto q_{1}q_{ 2}q_{3}\\C_{2}^{J}&\propto q_{2}q_{3}\\C_{3}^{J}&\propto q_{3}\\\end{aligned }}$

Om vi ​​antar att jämviktskonstanterna alla är större än 1.0, då tidigare steg har fler $q_{i}$ termer, måste det betyda att tidigare steg i allmänhet kommer att ha höga större flödeskontrollkoefficienter. I en linjär kedja av reaktionssteg tenderar flödeskontroll att vara förspänd mot framsidan av vägen. Ur ett metaboliskt ingenjörs- eller läkemedelsinriktat perspektiv bör man föredra att inrikta sig på de tidigare stegen i en väg eftersom de har störst effekt på vägflödet. Observera att denna regel endast gäller för vägar utan negativa återkopplingsslingor.

Programvara för analys av metabol kontroll

Det finns ett antal mjukvaruverktyg som direkt kan beräkna elasticiteter och styrkoefficienter:

• COPASI (GUI)
• PySCeS (Python)
• SBW (GUI)
• Tellur (Python)
• VCell

Relation till klassisk kontrollteori

Klassisk styrteori är ett matematiskt område som handlar om styrning av dynamiska system i konstruerade processer och maskiner. 2004 publicerade Brian Ingalls en artikel som visade att klassisk kontrollteori och metabol kontrollanalys var identiska. Den enda skillnaden var att metabolisk kontrollanalys var begränsad till nollfrekvenssvar när den gjuts i frekvensdomänen medan klassisk kontrollteori inte medför någon sådan begränsning. Den andra signifikanta skillnaden är att klassisk kontrollteori inte har någon föreställning om stökiometri och bevarande av massa, vilket gör den mer besvärlig att använda, men betyder också att den inte känner igen de strukturella egenskaperna som är inneboende i stökiometriska nätverk som ger användbara biologiska insikter.

Se även

• Förgrenade stigar
• Biokemisk systemteori
• Kontrollkoefficient (biokemi)
• Flux (metabolism)
• Bevarande av delar
• Hastighetsbegränsande steg (biokemi)

externa länkar

• Webben för analys av metabolisk kontroll