Förgrenade stigar

Förgrenade banor , även känd som grenpunkter (inte att förväxla med den matematiska grenpunkten ), är ett vanligt mönster som finns i metabolism . Det är här en intermediär art tillverkas eller omvandlas kemiskt genom flera enzymatiska processer. Detta kontrasteras av linjära vägar, som bara har en enzymatisk reaktion som producerar en art och en enzymatisk reaktion som förbrukar arten.

Förgrenade vägar är närvarande i många metaboliska reaktioner, inklusive glykolys , och syntesen av lysin , glutamin och penicillin . Ytterligare exempel på grenade vägar kan hittas i produktionen av aromatiska aminosyror .

Enkel Branch Pathway

I allmänhet kan en enskild gren ha $b$ producerande grenar och $d$ konsumerande grenar. Om intermediären vid förgreningspunkten ges av ${\displaystyle s_{i}} , så$ ges ändringshastigheten för ${\displaystyle s_{i}} av:$

$\sum _{i=1}^{b}v_{i}-\sum _{j=1}^ {d}v_{j}={\frac {ds_{i}}{dt}}$

Vid steady-state när $ds_{i}/dt=0$ måste förbruknings- och produktionshastigheterna vara lika:

$\sum _{i=1}^{b}v_{i}=\summa _{j=1}^{d}v_{j }$

Ett sätt att undersöka egenskaperna hos en grenad väg är att utföra datorsimuleringar eller att titta på kontrollkoefficienterna för flöde och artkoncentrationer med hjälp av metabolisk kontrollanalys .

Enkel grenväg

Till höger visas en enkel grenad väg med en producerande reaktion och två förtärande reaktioner. Om vi ​​antar att vägen är i steady state betyder bevarande av massa att:

$J_{1}=J_{2}+J_{3}$

Fluxen kan kontrolleras av enzymkoncentrationerna $e_{1}$ , $e_{2}$ respektive ${\displaystyle e_{3}} ,$ som definierar flödeskontrollkoefficienterna.

Efter flödessummeringssatsen och konnektivitetssatsen kan följande ekvationssystem framställas för den enkla vägen.

$C_{e_{1}}^{J_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1} }+C_{e_{3}}^{J_{1}}=1$

$C_{e_{1}}^{J_{2}}+C_{e_{2}}^{J_{2} }+C_{e_{3}}^{J_{2}}=1$

$C_{e_{1}}^{J_{3}}+C_{e_{2}}^{J_{3} }+C_{e_{3}}^{J_{3}}=1$

$C_{e_{1}}^{J_{1}}\varepsilon _ {s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{ 1}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0$

$C_{e_{1}}^{J_{2}}\varepsilon _ {s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{2}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{ 2}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0$

$C_{e_{1}}^{J_{3}}\varepsilon _ {s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{3}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{ 3}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0$

Ekvationer kan paras ihop, men med tre okända flödeskontrollkoefficienter kan ekvationssystemet inte lösas. För att producera den tredje ekvationen används ett tankeexperiment för steady state-koncentration.

$C_{e_{1}}^{J_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1} }+C_{e_{3}}^{J_{1}}=1$

$C_{e_{1}}^{J_{1}}\varepsilon _ {s}^{v_{1}}+C_{e_{2}}^{J_{1}}\varepsilon _{s}^{v_{2}}+C_{e_{3}}^{J_{ 1}}\varepsilon _{s}^{v_{3}}=0$

Steady State Concentration Tankeexperiment

Tankeexperimentet med steady-state koncentration följer en serie steg.

1. Definiera bråkflödet genom $J_{2}$ och $J_{3}$ som $\alpha =J_{2}/J_{1}$ och $1-\alpha =J_{3}/J_{1}$ respektive.
2. Öka $e_{2}$ med $\delta e_{2}$ . Detta kommer att minska $S_{1}$ och öka $J_{1}$ genom att lindra produkthämningen .
3. Gör en kompenserande förändring i $J_{1}$ genom att minska $e_{1}$ så att $S_{1}$ återställs till sin ursprungliga koncentration ( $\delta S_{1}=0$ ).
4. Eftersom $e_{1}$ och $S_{1}$ inte har ändrats, $\delta J_{1}=0$ .

Efter dessa antaganden produceras två uppsättningar ekvationer. Fluxgrenpunktssatserna och koncentrationsgrenpunktssatserna.

Härledning

Utifrån dessa antaganden kan följande systemekvation framställas:

$C_{e_{2}}^{J1}{\frac {\delta e_{ 2}}{e_{2}}}+C_{e_{3}}^{J1}{\frac {\delta e_{3}}{e_{3}}}={\frac {\delta J_{1 }}{J_{1}}}=0$

Eftersom $\delta S_{1}=0$ och, om man antar att flödeshastigheterna är direkt relaterade till enzymkoncentrationen, alltså elasticiteterna, $\varepsilon _{e_{i }}^{v}$ , lika med en, de lokala ekvationerna är:

${\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}={\frac {\delta e_{2}}{e_{2}} }$

${\frac {\delta v_{3}}{v_{3}}}={\frac {\delta e_{3}}{e_{3}} }$

Ersätter ${\frac {\delta v_{i}}{v_{i}}}$ för ${\frac {\delta e_{i}}{e_ {i}}}$ i systemekvationen resulterar i:

$C_{e_{2}}^{J1}{\frac {\delta v_{2}}{v_{ 2}}}+C_{e_{3}}^{J1}{\frac {\delta v_{3}}{v_{3}}}=0$

Bevarande av massa dikterar $\delta J_{1}=\delta J_{2}+\delta J_{3}$ eftersom $\delta J_ {1}=0$ sedan $\delta v_{2}=-\delta v_{3}$ . Substitution eliminerar $\delta v_{3}$ från systemekvationen:

$C_{e_{2}}^{J1}{\frac {\delta v_{2}}{v_{ 2}}}-C_{e_{3}}^{J1}{\frac {\delta v_{2}}{v_{3}}}=0$

Att dela ut ${\frac {\delta v_{2}}{v_{2}}}$ resulterar i:

$C_{e_{2}}^{J1}-C_{e_{3}}^{J1}{\frac {v_{2} }{v_{3}}}=0$

$v_{2}$ och $v_{3}$ kan ersättas med bråkrater som ger:

$C_{e_{2}}^{J1}-C_{e_{3}}^{J1}{\frac {\alpha }{ 1-\alpha }}=0$

Omarrangemang ger den slutliga formen av den första flödesgrenpunktsatsen:

$C_{e_{2}}^{J1}(1-\alpha )-C_{e_{3}}^{J1} {\alpha }=0$

Liknande härledningar resulterar i ytterligare två flödesgrenpunktssatser och de tre koncentrationsgrenpunktssatserna.

Fluxgrenpunktssatser

$C_{e_{2}}^{J_{1}}(1-\alpha )-C_{e_{3} }^{J_{1}}(\alpha )=0$

$C_{e_{1}}^{J_{2}}(1-\alpha )+C_{e_{3} }^{J_{2}}(\alpha )=0$

$C_{e_{1}}^{J_{3}}(\alpha )+C_{e_{2}}^{J_{3} }=0$

Koncentrationsgrenpunktssatser

$C_{e_{2}}^{S1}(1-\alpha )+C_{e_{3}}^{ S1}(\alpha )=0$

$C_{e_{1}}^{S1}(1-\alpha )+C_{e_{3}}^{S1}= 0$

$C_{e_{1}}^{S1}(\alpha )+C_{e_{2}}^{S1}=0$

Med hjälp av dessa satser plus flödessummering och anslutningssatser kan värden för koncentrations- och flödeskontrollkoefficienterna bestämmas med hjälp av linjär algebra .

$C_{e_{1}}^{J2}={\frac {\varepsilon _{2}}{\ varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

$C_{e_{2}}^{J2}={\frac {\ varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

$C_{e_{3}}^{J2}={\frac {-\varepsilon _{2}(1-\alpha )}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

$C_{e_{1}}^{S_{1}}={\frac {1}{\varepsilon _{ 2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

$C_{e_{1}}^{S_{1}}={\frac {-\alpha }{\ varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

$C_{e_{3}}^{S_{1}}={\frac {-( 1-\alpha )}{\varepsilon _{2}\alpha +\varepsilon _{3}(1-\alpha )-\varepsilon _{1}}}$

Kontrollera egenskaper för en grenväg

Härledningarna ovan tillåter att egenskaperna hos en enkel gren kan undersökas. Till exempel, om det mesta av flödet går genom $J_{3}$ , då $\alpha \rightarrow 0$ och $1-\alpha \rightarrow 1$ . Under dessa förhållanden kan flödeskontrollkoefficienterna för $J_{3}$ med avseende på $e_{2}$ och $e_{3}$ skrivas:

$C_{e_{2}}^{J_{2}}\högerpil 1$

$C_{e_{3}}^{J_{2}}\högerpil {\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1} -\varepsilon _{3}}}$

Det vill säga, $e_{2}$ får proportionell påverkan över sitt eget flöde, $J_{2}$ . Eftersom $J_{2}$ bara har en mycket liten mängd flöde, kommer alla ändringar i $e_{2}$ att ha liten effekt på $S$ . Följaktligen styrs flödet genom $e_{2}$ nästan helt av aktiviteten hos $e_{2}$ . På grund av flödessummeringssatsen och det faktum att $C_{e_{2}}^{J_{2}}=1$ betyder det att de återstående två koefficienterna måste vara lika och motsatta i värde. Eftersom $C_{e_{3}}^{J_{2}}$ är negativ, $C_{e_{1}}^{J_{2}}$ måste vara positiv. Detta betyder också att det i denna situation kan finnas mer än ett hastighetsbegränsande steg (biokemi) i en väg.

Till skillnad från en linjär bana, värden för $C_{e_{3}}^{J_{2}}$ och $C_{e_{1}}^{J_{ 2}}$ är inte gränsade mellan noll och ett. Beroende på elasticitetsvärdena är det möjligt för kontrollkoefficienterna i ett grenat system att kraftigt överskrida en.

Se även

• Kontrollkoefficient (biokemi)
• Elasticitetskoefficient
• Metabolisk kontrollanalys