Logaritm av en matris

I matematik är en logaritm av en matris en annan matris så att matrisexponentialen för den senare matrisen är lika med den ursprungliga matrisen. Det är alltså en generalisering av den skalära logaritmen och i någon mening en omvänd funktion av matrisexponentialen . Inte alla matriser har en logaritm och de matriser som har en logaritm kan ha mer än en logaritm. Studiet av logaritmer av matriser leder till Lie-teorin eftersom när en matris har en logaritm så är den i ett element i en Lie-grupp och logaritmen är motsvarande element i vektorrummet i Lie-algebra .

Definition

Exponentialen för en matris A definieras av

$e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}$ .

Givet en matris B sägs en annan matris A vara en matrislogaritm av B om e ^A = B . Eftersom exponentialfunktionen inte är bijektiv för komplexa tal (t.ex. ${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1} ),$ kan tal har flera komplexa logaritmer, och som en konsekvens av detta kan vissa matriser ha mer än en logaritm, som förklaras nedan.

Power serie uttryck

Om B är tillräckligt nära identitetsmatrisen, kan en logaritm av B beräknas med hjälp av följande potensserier:

$\log(B)=\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k+1}{\frac {(BI)^{k }}{k}}}=(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-{\frac { (BI)^{4}}{4}}+\cdots$ .

Specifikt, om $\left\|BI\right\|<1$ så konvergerar den föregående serien och $e^{\log(B )}=B$ .

Exempel: Logaritm av rotationer i planet

Rotationerna i planet ger ett enkelt exempel. En rotation av vinkeln α runt origo representeras av 2×2-matrisen

$A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.$

För varje heltal n , matrisen

$B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{ pmatrix}},$

är en logaritm av A .

Bevis

$\log(A)=B_{n}~$ ⇔ $~~e^{B_{n}}=A$ $e^{B_{n}}=\summa _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}~$ där $(B_{n})^{0}=1~I_{2},$ $(B_{n})^{1}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0& -1\\+1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{2}=(\alpha +2\pi n)^{2}{\ start{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{3}=(\alpha +2\pi n)^{3}{\begin {pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}},$ $(B_{n})^{4}=(\alpha +2\pi n)^{4}~I_{2}$ … $\sum _{k=0}^{\infty }{1 \over k!}B_{n}^{k}={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\ alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}=A~.$ qed.

Alltså har matrisen A oändligt många logaritmer. Detta motsvarar det faktum att rotationsvinkeln endast bestäms upp till multiplar av 2 π .

På Lie-teorins språk är rotationsmatriserna A element i Lie-gruppen SO(2) . De motsvarande logaritmerna B är element i Lie-algebra so(2), som består av alla skevsymmetriska matriser . Matrisen

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$

är en generator av Lie-algebra so(2).

Existens

Frågan om en matris har en logaritm har det enklaste svaret när den betraktas i den komplexa miljön. En komplex matris har en logaritm om och endast om den är inverterbar . Logaritmen är inte unik, men om en matris inte har några negativa reella egenvärden , så finns det en unik logaritm som har egenvärden som alla ligger i remsan { z ∈ C | −π < Im z < π}. Denna logaritm är känd som huvudlogaritmen .

Svaret är mer involverat i den verkliga miljön. En verklig matris har en verklig logaritm om och endast om den är inverterbar och varje Jordan-block som tillhör ett negativt egenvärde förekommer ett jämnt antal gånger. Om en inverterbar reell matris inte uppfyller villkoret med Jordan-blocken, så har den bara icke-reella logaritmer. Detta kan redan ses i det skalära fallet: ingen gren av logaritmen kan vara verklig vid -1. Förekomsten av reella matrislogaritmer av reella 2×2-matriser behandlas i ett senare avsnitt.

Egenskaper

Om A och B båda är positiv-definita matriser , då

$\operatörsnamn {tr} {\log {(AB)}}=\operatörsnamn {tr} {\log {(A)}}+\operatörsnamn {tr} {\log {(B)}}.$

Antag att A och B pendlar, vilket betyder att AB = BA . Sedan

$\log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}.\,$

om och bara om $\operatörsnamn {arg} (\mu _{j})+\operatörsnamn {arg} (\nu _ {j})\in (-\pi ,\pi ]$ , där $\mu _{j}$ är ett egenvärde för $A$ och $\nu _{j }$ är motsvarande egenvärde för $B$ . Speciellt $\log(AB)=\log(A)+ \log(B)$ när A och B pendlar och båda är positiv-definita . Inställning B = A ⁻¹ i denna ekvation ger

$\log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.$

På samma sätt, för icke-pendling $A$ och $B$ kan man visa att

$\log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\ frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).$

Mer generellt kan en serieexpansion av $\log {(A+tB)}$ i potenserna $t$ erhållas med hjälp av logaritmens integraldefinition

$\log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _ {0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},$

tillämpas på både $X=A$ och $X=A+tB$ i gränsen $\lambda \rightarrow \infty$ .

Ytterligare exempel: Logaritm av rotationer i 3D-rymden

En rotation R ∈ SO(3) i ℝ³ ges av en 3×3 ortogonal matris .

Logaritmen för en sådan rotationsmatris R kan lätt beräknas från den antisymmetriska delen av Rodrigues rotationsformel, uttryckligen i Axis angle . Det ger logaritmen för minimal Frobenius-norm , men misslyckas när R har egenvärden lika med −1 där detta inte är unikt.

Observera vidare att, givet rotationsmatriserna A och B ,

$d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\top }B)\|_{ F}$

är det geodetiska avståndet på 3D-grenröret av rotationsmatriser.

Beräkna logaritmen för en diagonaliserbar matris

En metod för att hitta ln A för en diagonaliserbar matris A är följande:

Hitta matrisen V för egenvektorer till A (varje kolumn i V är en egenvektor till A ).

Hitta inversen V ⁻¹ av V .

Låt

$A'=V^{-1}AV.\,$

Då kommer A′ att vara en diagonal matris vars diagonala element är egenvärden för A .

Ersätt varje diagonalt element i A′ med dess (naturliga) logaritm för att få $\log A'$ .

Sedan

$\log A=V(\log A')V^{-1}.\,$

Att logaritmen för A kan vara en komplex matris även om A är reell följer då av att en matris med reella och positiva poster ändå kan ha negativa eller till och med komplexa egenvärden (detta gäller till exempel för rotationsmatriser ) . Icke-unikheten i logaritmen för en matris följer av ounikheten i logaritmen för ett komplext tal.

Logaritmen för en icke-diagonaliserbar matris

Algoritmen som illustreras ovan fungerar inte för icke-diagonaliserbara matriser, som t.ex

${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.$

För sådana matriser behöver man hitta dess Jordan-nedbrytning och, snarare än att beräkna logaritmen för diagonala poster enligt ovan, skulle man beräkna logaritmen för Jordan-blocken .

Det senare åstadkoms genom att lägga märke till att man kan skriva ett Jordan-block som

$B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{&1}&0&0 \cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)$

där K är en matris med nollor på och under huvuddiagonalen. (Siffran λ är icke-noll genom antagandet att matrisen vars logaritm man försöker ta är inverterbar.)

Sedan av Mercator-serien

$\log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}} +{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

man får

$\log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+ \cdots$

Denna serie har ett ändligt antal termer ( K ^​​m är noll om m är dimensionen av K ), och därför är dess summa väldefinierad.

Genom att använda detta tillvägagångssätt finner man

$\log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

Ett funktionellt analysperspektiv

En kvadratisk matris representerar en linjär operator på det euklidiska rummet R ⁿ där n är dimensionen av matrisen. Eftersom ett sådant utrymme är ändligt dimensionellt är denna operator faktiskt begränsad .

Med hjälp av verktygen för holomorf funktionskalkyl , givet en holomorf funktion f definierad på en öppen mängd i det komplexa planet och en avgränsad linjär operator T , kan man beräkna f ( T ) så länge som f är definierad på spektrumet av T.

Funktionen f ( z )=log z kan definieras på vilken enkelt ansluten öppen mängd som helst i det komplexa planet som inte innehåller origo, och den är holomorf på en sådan domän. Detta innebär att man kan definiera ln T så länge som spektrumet för T inte innehåller ursprunget och det finns en väg som går från ursprunget till oändligheten som inte korsar T -spektrumet (t.ex. om T -spektrumet är en cirkel med ursprung inuti det är det omöjligt att definiera ln T ).

Spektrum för en linjär operator på R ⁿ är uppsättningen av egenvärden för dess matris, och så är en finit uppsättning. Så länge som origo inte är i spektrumet (matrisen är inverterbar) är vägvillkoret från föregående stycke uppfyllt, och ln T är väldefinierat. Matrislogaritmens icke-unikhet följer av det faktum att man kan välja mer än en gren av logaritmen som är definierad på uppsättningen av egenvärden för en matris.

Ett Lie-gruppteoretiskt perspektiv

I teorin om Lie-grupper finns det en exponentiell karta från en Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ till motsvarande Lie-grupp G

$\exp :{\mathfrak {g}}\högerpil G.$

För matris Lie-grupper är elementen i ${\mathfrak {g}}$ och G kvadratiska matriser och den exponentiella kartan ges av matrisexponentialen . Den omvända kartan $\log =\exp ^{-1}$ är flervärdig och sammanfaller med matrislogaritmen som diskuteras här. Logaritmen mappar från Lie-gruppen G till Lie-algebra ${\mathfrak {g}}$ . Observera att den exponentiella kartan är en lokal diffeomorfism mellan en grannskap U i nollmatrisen ${\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}$ och en grannskap V i identitetsmatrisen ${\underline {1}}\in G$ . Sålunda är (matris)logaritmen väldefinierad som en karta,

$\log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.$

En viktig följd av Jacobis formel är alltså

$\log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.$

Begränsningar i fallet 2 × 2

Om en 2 × 2 reell matris har en negativ determinant , har den ingen reell logaritm. Observera först att valfri 2 × 2 reell matris kan anses vara en av de tre typerna av det komplexa talet z = x + y ε, där ε² ∈ { −1, 0, +1 }. Detta z är en punkt på ett komplext underplan av ringen av matriser.

Fallet där determinanten är negativ uppstår endast i ett plan med ε² =+1, det vill säga ett delat-komplext talplan . Endast en fjärdedel av detta plan är bilden av den exponentiella kartan, så logaritmen definieras bara på den fjärdedelen (kvadranten). De andra tre kvadranter är bilder av denna under Klein-fyragruppen som genereras av ε och −1.

Låt till exempel a = log 2 ; sedan cosh a = 5/4 och sinh a = 3/4. För matriser betyder det det

$A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\ end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&.75\\.75&1.25\ slut{pmatrix}}$ .

Så denna sista matris har logaritm

$\log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}$ .

Dessa matriser har dock ingen logaritm:

${\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/ 4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}$ .

De representerar de tre andra konjugaten med fyragruppen i matrisen ovan som har en logaritm.

En icke-singular 2 x 2-matris har inte nödvändigtvis en logaritm, men den är konjugerad av fyragruppen till en matris som har en logaritm.

Det följer också att t.ex. en kvadratrot av denna matris A kan erhållas direkt från exponentiering (log A )/2,

${\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2) /2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&.35\\.35&1.06\end{pmatrix}}~.$

För ett rikare exempel, börja med en pytagoreisk trippel ( p,q,r ) och låt a = log( p + r ) − log q . Sedan

$e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a$ .

Nu

$\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r /q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}$ .

Således

${\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}$

har logaritmmatrisen

${\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}$ ,

där a = log( p + r ) − log q .

Se även

• Matrisfunktion
• Kvadratroten ur en matris
• Matris exponentiell
• Baker–Campbell–Hausdorff formel
• Derivat av den exponentiella kartan

Anteckningar

• Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices , vol. 1, New York: Chelsea, s. 239–241 .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666
•   Culver, Walter J. (1966), "On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix", Proceedings of the American Mathematical Society , 17 ( 5): 1146–1151, doi : 10.1090/S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN 0002-9939 .
•   Higham, Nicholas (2008), Funktioner av matriser. Teori och beräkning , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7 .
•    Engø, Kenth (juni 2001), "On the BCH-formula in so (3)" , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023 /A: 1021979515229 , ISSN 0506-3205ID 1203ID