Derivat av den exponentiella kartan

År 1899 ledde Henri Poincarés undersökningar av gruppmultiplikation i Lie algebraiska termer honom till formuleringen av den universella omslutande algebra .

I teorin om Lie-grupper är den exponentiella kartan en karta från Lie -algebra g av en Lie-grupp G till G. Om G är en matris Lie-grupp , reduceras den exponentiella kartan till matrisexponentialen . Den exponentiella kartan, betecknad exp: g → G , är analytisk och har som sådan en derivata d / dt exp( X ( t )):T g → T G , där X ( t ) är en C ^{1 -} bana i Lie-algebra och en närbesläktad differential d exp:T g → T G .

Formeln för d exp bevisades först av Friedrich Schur (1891). Det utarbetades senare av Henri Poincaré (1899) i samband med problemet med att uttrycka Lie-gruppmultiplikation med Lie-algebraiska termer. Det är också ibland känt som Duhamels formel .

Formeln är viktig både i ren och tillämpad matematik. Det går in i bevis på satser som Baker-Campbell-Hausdorff-formeln , och den används ofta i fysiken till exempel i kvantfältteorin , som i Magnus-expansionen i störningsteorin och i gittermåttteorin .

Genomgående kommer beteckningarna exp( X ) och e ^X att användas omväxlande för att beteckna exponentialen givet ett argument, utom när, där som nämnts, beteckningarna har dedikerade distinkta betydelser. Notationen i kalkylstil är att föredra här för bättre läsbarhet i ekvationer. Å andra sidan exp -stilen ibland mer bekväm för inline-ekvationer, och är nödvändig vid de sällsynta tillfällen då det finns en verklig skillnad att göra.

Påstående

Derivatan av den exponentiella kartan ges av

${\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=e^{X(t)}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}} }{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX(t)}{dt}}.$              

Förklaring

• X = X ( t ) är en C ¹ (kontinuerligt differentierbar) väg i Lie-algebra med derivatan X ′( t ) = dX ( t ) / dt . Argumentet t utelämnas där det inte behövs.
• ad _X är den linjära transformationen av Lie-algebra som ges av ad _X ( Y ) = [ X , Y ] . Det är en samverkan av en Lie-algebra på sig själv.
• Bråket 1 − exp(−ad _X ) / ad _X ges av potensserien

  ${\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}=\summa _{k=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}.$

   

   

   

   

  ()

  härledd från potensserien för den exponentiella kartan av en linjär endomorfism, som i matrisexponentiering.
• När G är en matris Lie-grupp, ges alla förekomster av exponentialen av deras potensserieexpansion.
• När G inte är en matris Lie-grupp, ges 1 − exp(−ad _X ) / ad _X fortfarande av dess potensserie ( 2 ), medan de andra två förekomsterna av exp i formeln, som nu är exponentialkartan i Lie teori , hänvisar till tid-ett- flödet av det vänstra invarianta vektorfältet X , dvs elementet i Lie-algebra som definieras i det allmänna fallet, på Lie-gruppen G ses som en analytisk mångfald . Detta motsvarar fortfarande exakt samma formel som i matrisfallet. Vänstermultiplikation av ett element i algebra g med ett element exp( X ( t )) i Lie-gruppen tolkas som att man tillämpar differentialen för den vänstra translationen dL _{exp( X ( t ))} .
• Formeln gäller för fallet där exp betraktas som en karta på matrisutrymme över ℝ eller C , se matrisexponential . När G = GL( n , C ) eller GL( n , R ) sammanfaller begreppen exakt.

För att beräkna differentialen d exp för exp vid X , d exp _X : T g _X → T G _{exp( X )} , standardreceptet

$d\exp _{X}Y=\left.{\frac {d}{dt}}e^{Z(t)}\right |_{t=0},Z(0)=X,Z'(0)=Y$

är anställd. Med Z ( t ) = X + tY blir resultatet

$d\exp _{X}Y=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad } _{X}}}{\mathrm {ad} _{X}}}Y$

 

 

 

 

()

följer omedelbart av (1) . Speciellt ₀₀ d ​​exp :T g → T G _exp(0) T G _e = Tg _X ≃ g är identiteten eftersom (eftersom g är ett vektorrum) och T G _e ≃ g .

Bevis

Beviset nedan antar en matris Lie-grupp. Det betyder att den exponentiella mappningen från Lie-algebra till matris-Lie-gruppen ges av den vanliga potensserien, dvs matrisexponentiering. Slutsatsen av beviset gäller fortfarande i det allmänna fallet, förutsatt att varje förekomst av exp tolkas korrekt. Se kommentarer om det allmänna fallet nedan.

Konturen av bevis använder sig av tekniken för differentiering med avseende på s av det parametriserade uttrycket

$\Gamma (s,t)=e^{-sX(t)}{\frac {\partial } {\partial t}}e^{sX(t)}$

för att få en första ordningens differentialekvation för Γ som sedan kan lösas genom direkt integration i s . Lösningen är då e ^X Γ(1, t) .

Lemma

Låt Ad beteckna gruppens samverkan på dess Lie-algebra. Åtgärden ges av Ad _A X = AXA ⁻¹ för A ∈ G , X ∈ g . En ofta användbar relation mellan annons och annons ges av

$\mathrm {Ad} _{e^{X}}=e^{\mathrm {ad} _{X}},~~X\in {\mathfrak {g}}~.$              

Bevis

Genom att använda produktregeln två gånger hittar man,

${\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=e^{-sX}(-X){\frac {\partial }{\partial t}}e^{sX(t)} +e^{-sX}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[X(t)e^{sX(t)}\right]=e^{-sX}{\frac {dX }{dt}}e^{sX}.$

Sedan observerar man det

${\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}=\mathrm {Ad} _{e ^{-sX}}X'=e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X',$

av (4) ovan. Integration ger

$\Gamma (1,t)=e^{-X(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}e^{X(t)}=\int _{0}^{ 1}{\frac {\partial \Gamma }{\partial s}}ds=\int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}X'ds.$

Att använda den formella potensserien för att expandera exponentialen, integrera term för term och slutligen känna igen ( 2 ),

$\Gamma (1,t)=\int _{0}^{1}\summa _ {k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}s^{k}}{k!}}(\mathrm {ad} _{X})^{k}{\ frac {dX}{dt}}ds=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)!}}(\mathrm {ad } _{X})^{k}{\frac {dX}{dt}}={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X}}}{\mathrm {ad} _{ X}}}{\frac {dX}{dt}},$

och resultatet följer. Beviset, som det presenteras här, är i huvudsak det som ges i Rossmann (2002) . Ett bevis med en mer algebraisk touch finns i Hall (2015) .

Kommentarer till det allmänna fallet

Formeln i det allmänna fallet ges av

${\frac {d}{dt}}\exp(C(t)) =\exp(C)\phi (-\mathrm {ad} (C))C~',$

var

$\phi (z)={\frac {e^{z}-1}{z}}=1+{\frac {1}{2!}}z+{\frac {1 }{3!}}z^{2}+\cdots ,$

som formellt reducerar till

${\frac {d}{dt}}\exp(C(t))=\exp(C){\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{C}}}{\ mathrm {ad} _{C}}}{\frac {dC(t)}{dt}}.$

Här används exp -notationen för den exponentiella kartläggningen av Lie-algebra och calculus-notationen i bråket indikerar den vanliga formella serieexpansionen. För mer information och två fullständiga bevis i det allmänna fallet, se den fritt tillgängliga Sternberg (2004) referens.

Ett direkt formellt argument

Ett omedelbart sätt att se vad svaret måste vara, förutsatt att det finns, är följande. Existens måste bevisas separat i varje fall. Genom direkt differentiering av standardgränsdefinitionen för exponentialen och utbyte av differentierings- och gränsordningen,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\ lim _{N\to \infty }{\frac {d}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\summa _{k=1}^{N}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{Nk}{\frac {1 }{N}}{\frac {dX(t)}{dt}}\left(1+{\frac {X(t)}{N}}\right)^{k-1}~,\end{ Justerat}}$

där varje faktor är skyldig sin plats till icke-kommutativiteten för X ( t ) och X ´( t ) .

Dela enhetsintervallet i N sektioner Δ s = Δ k / N ( Δ k = 1 eftersom summaindexen är heltal) och låta N → ∞, Δ k → dk , k / N → s , Σ → ∫ ger

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}e^{X(t)}&=\int _{0}^{1}e^{(1-s)X}X 'e^{sX}ds=e^{X}\int _{0}^{1}\mathrm {Ad} _{e^{-sX}}X'ds\\&=e^{X}\ int _{0}^{1}e^{-\mathrm {ad} _{sX}}dsX'=e^{X}{\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{X} }}{\mathrm {ad} _{X}}}{\frac {dX}{dt}}~.\end{aligned}}$

Ansökningar

Lokalt beteende hos den exponentiella kartan

Den omvända funktionssatsen tillsammans med derivatan av exponentialkartan ger information om det lokala beteendet hos exp . Varje C ^k , 0 ≤ k ≤ ∞, ω kartlägger f mellan vektorrymden (här först med tanke på matris Lie-grupper) har en C ^k invers så att f är en C ^k bijektion i en öppen mängd runt en punkt x i den angivna domänen df _x är inverterbar. Av ( 3 ) följer att detta kommer att ske exakt när

${\frac {1-e^{\mathrm {ad_{X}} }}{\mathrm {ad} _{X}}}$

är inverterbar. Detta händer i sin tur när egenvärdena för denna operator alla är icke-noll. Egenvärdena för 1 − exp(−ad _X ) / ad _X är relaterade till de för ad _X enligt följande. Om g är en analytisk funktion av en komplex variabel uttryckt i en potensserie så att g ( U ) för en matris U konvergerar, då kommer egenvärdena för g ( U ) att vara g ( λ _ij ) , där λ _ij är egenvärdena för U , den dubbla prenumerationen görs tydlig nedan. I det aktuella fallet med g ( U ) = 1 − exp(− U ) / U och U = ad _{X ,} är egenvärdena för 1 − exp(−ad _X ) / ad _X

${\frac {1-e^{-\lambda _{ij}}}{\lambda _{ij}}},$

där λ _ij är egenvärdena för ad _X . Om man sätter 1 − exp(− λ _ij ) / λ _ij = 0 ser man att d exp är inverterbar precis när

$\lambda _{ij}\neq k2\pi i,k=\pm 1,\pm 2,\ldots .$

Egenvärdena för ad _X är i sin tur relaterade till X . Låt egenvärdena för X vara λ _i . Fixera en ordnad bas e _i för det underliggande vektorutrymmet V så att X är lägre triangulärt. Sedan

$Xe_{i}=\lambda _{i}e_{i}+\cdots ,$

med de återstående termerna multiplar av e _n med n > i . Låt E _ij vara motsvarande bas för matrisrymd, dvs ( E _ij ) _kl = δ _ik δ _jl . Ordna denna bas så att E _ij < En _nm om i − j < n − m . Man kontrollerar att åtgärden av annons _X ges av

$\mathrm {ad} _{X}E_{ij}=(\lambda _ {i}-\lambda _{j})E_{ij}+\cdots \equiv \lambda _{ij}E_{ij}+\cdots ,$

med de återstående termerna multiplar av E _mn > E _ij . Det betyder att ad _X är lägre triangulärt med sina egenvärden λ _ij = λ _i − λ _j på diagonalen. Slutsatsen är att d exp _X är inverterbar, därför är exp en lokal bianalytisk bijektion runt X , när egenvärdena för X uppfyller

$\lambda _{i}-\lambda _{j}\neq k2\pi i,\quad k=\pm 1,\pm 2,\ldots ,\quad 1\leq i,j\leq n= \dim V.$

I synnerhet när det gäller matris Lie-grupper följer det, eftersom d exp ₀ är inverterbar, av inversfunktionssatsen att exp är en bianalytisk bijektion i en omgivning av 0 ∈ g i matrisrymden. Vidare exp en bianalytisk bijektion från en grannskap av 0 ∈ g in g till en grannskap av e ∈ G . Samma slutsats gäller för allmänna Lie-grupper som använder den mångfaldiga versionen av inversfunktionssatsen.

Det följer också av den implicita funktionssatsen att d exp _ξ själv är inverterbar för ξ tillräckligt liten.

Härledning av en Baker-Campbell-Hausdorff-formel

Huvudartikel: Baker–Campbell–Hausdorff formel

Om Z ( t ) definieras så att

$e^{Z(t)}=e^{X}e^{tY},$

ett uttryck för Z (1) = log( exp X exp Y ) , Baker -Campbell-Hausdorff-formeln , kan härledas från formeln ovan,

$\exp(-Z(t)){\frac {d}{dt}}\exp(Z(t))={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z} }}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t).$

Dess vänstra sida är lätt att se lika med Y . Således,

$Y={\frac {1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}{\mathrm {ad} _{Z}}}Z'(t),$

och därmed formellt

$Z'(t)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e ^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}Y\equiv \psi \left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}\right)Y,\quad \psi (w)={ \frac {w\log w}{w-1}}=1+\summa _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m+1}}{m(m+ 1)}}(w-1)^{m},\|w\|<1.$

Men genom att använda relationen mellan annons och annons som ges av (4) , är det enkelt att ytterligare se det

$e^{\mathrm {ad} _{Z}}=e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}$

och följaktligen

$Z'(t)=\psi \left(e^{\mathrm {ad} _{X}}e^{t\mathrm {ad} _{Y}}\right)Y.$

Att sätta detta i form av en integral i t från 0 till 1 ger,

$Z(1)=\log(\exp X \exp Y)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatörsnamn {ad} _{X}}~e^{t\,{\text{ad} }_{Y}}\right)\,dt\right)\,Y,$

en integralformel för Z (1) som är mer lättläst i praktiken än den explicita Dynkins serieformel på grund av enkelheten i serieexpansionen av ψ . Observera att detta uttryck består av X+Y och kapslade kommutatorer därav med X eller Y . Ett läroboksbevis längs dessa linjer finns i Hall (2015) och Miller (1972) .

Härledning av Dynkins serieformel

Eugene Dynkin hemma 2003. 1947 bevisade Dynkin den explicita BCH-seriens formel. Poincaré , Baker , Campbell och Hausdorff var mest angelägna om förekomsten av en konsolserie, vilket räcker i många tillämpningar, till exempel för att bevisa centrala resultat i Lie-korrespondensen . Foto med tillstånd från Dynkin Collection.

Dynkins formel som nämns kan också härledas analogt, utgående från den parametriska förlängningen

$e^{Z(t)}=e^{tX}e^{tY},$

Varav

$e^{-Z(t)}{\frac {de^{Z(t)}} {dt}}=e^{-t\,\mathrm {ad} _{Y}}X+Y~,$

så att, med hjälp av ovanstående allmänna formel,

$Z'={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{1-e^{-\mathrm {ad} _{Z}}}}~\left(e^{-t\, \mathrm {ad} _{Y}}X+Y\right)={\frac {\mathrm {ad} _{Z}}{e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1}}~ \left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).$

Eftersom dock

${\begin{aligned}\mathrm {ad_{Z}} &=\log \left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)\right)=\log \left(1+\left(\exp \left(\mathrm {ad} _{Z}\right)-1\right)\right)\ \&=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n+1}}{n}}(\exp(\mathrm {ad} _{Z}) -1)^{n}~,\quad \|\mathrm {ad} _{Z}\|<\log 2~~,\end{aligned}}$

det sista steget i kraft av Mercator-seriens expansion, följer det

$Z'=\summa \limits _{n =1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}\left(e^{\mathrm {ad} _{Z}}-1\right)^{n -1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right)~,$

 

 

 

 

()

och därmed integrera,

$Z(1)=\int _{0}^{1}dt~{\frac {dZ(t)}{dt}}=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(-)^{n-1}}{n}}\int _{0}^{1}dt~\left(e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}e^{t \mathrm {ad} _{Y}}-1\right)^{n-1}~\left(X+e^{t\,\mathrm {ad} _{X}}Y\right).$

Det är vid denna tidpunkt uppenbart att det kvalitativa uttalandet av BCH-formeln håller, nämligen Z X , Y ligger i Lie-algebra som genereras av och kan uttryckas som en serie inom upprepade parenteser . För varje k är termer för varje partition därav organiserade inuti integralen ∫ dt t ^{k −1} . Den resulterande Dynkins formel är då

$Z=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}\summa _{s\in S_{k}}{ \frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {[X^{(i_{1})}Y^{(j_ {1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k }!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k.$

För ett liknande bevis med detaljerade serieutvidgningar, se Rossmann (2002) .

Kombinatoriska detaljer

Ändra summeringsindexet i ( 5 ) till k = n − 1 och expandera

${\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+ 1}}\left\{\left(e^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}X+\left(e ^{\mathrm {ad} _{tX}}e^{\mathrm {ad} _{tY}}-1\right)^{k}e^{\mathrm {ad} _{tX}}Y\right \}$

 

 

 

 

()

i en kraftserie. För att enkelt hantera serieexpansionerna, överväg först Z = log( e ^X e ^Y ) . Log -serien och exp -serien ges av

$\log(A)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{(AI)}^{k} ,\quad {\text{and}}\quad e^{X}=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}$

respektive. Genom att kombinera dessa får man

$\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}} {k}}{\left(e^{X}e^{Y}-I\right)}^{k}=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1) ^{k+1}}{k}}\left({\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}\summa _{j=0 }^{\infty }{\frac {Y^{j}}{j!}}-I}\right)^{k}=\summa _{k=1}^{\infty }{\frac {( -1)^{k+1}}{k}}\left(\sum _{i,j\geq 0,i+j>1}^{\infty }{\frac {X^{i}Y^ {j}}{i!j!}}\right)^{k}.$

 

 

 

 

()

Detta blir

$Z=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\summa _{k =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}\summa _{s\in S_{k}}{\frac {X^{i_{1} }Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k} !}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,$       

där Sk _k är mängden av alla sekvenser s = ( i ₁ , j ₁ …, i _. , j _k ) , med längden 2 k under förutsättning att villkoren i (99)

Ersätt nu ( e ^X e ^Y − 1) för ( e ^{ad _tX} e ^{ad _tY} − 1) i LHS av ( 98 ). Ekvation (99) ger då

${\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\summa _{k=0} ^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\summa _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_ {1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}} }{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}X\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots + i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {{\mathrm {ad} _{X}}^{i_{1}}{\mathrm {ad} _{Y}} ^{j_{1}}\cdots {\mathrm {ad} _{X}}^{i_{k}}{\mathrm {ad} _{Y}}^{j_{k}}X^{i_{ k+1}}}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}}Y,\quad i_{r},j_{r }\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k,\end{aligned}}$

eller, med en växling av notation, se An explicit Baker-Campbell-Hausdorff-formel ,

${\begin{aligned}{\frac {dZ}{dt}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1 }}\summa _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&t^{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}} {\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X \right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&t^{i_{1}+j_{1}+\ cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^ {(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{ k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r}>0,\quad 1 \leq r\leq k\end{aligned}}.$

Observera att summeringsindexet för e ^{ad _{tX längst till}} s ∈ Sk _höger i den andra termen i ( 97 ) betecknas i _{k + 1} , men är inte ett element i en sekvens . Integrera nu Z = Z (1) = ∫ dZ / dt dt , med hjälp av Z (0) = 0 ,

${\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+1}}{ \frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X\ höger]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}}\\{}+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{ 1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+1}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1 })}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1})}Y\right]}{i_{1}!j_{ 1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k+1}!}},\quad i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r }>0,\quad 1\leq r\leq k\end{aligned}}.$

Skriv detta som

${\begin{aligned}Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\sum _{s\in S_{k},i_{k+1}\geq 0}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+(i_{k} +1}=1)+(j_{k+1}=0)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^ {(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{(i_{k+1}=1)}Y^{(j_{k+1}=0)}\höger]} {i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!(i_{k+1}=1)!(j_{k+1}=0)!}}\\{ }+{}&{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+(j_{k+1}= 1)}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k })}X^{(i_{k+1})}Y^{(j_{k+1}=1)}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k} !j_{k}!i_{k+1}!(j_{k+1}=1)!}},\\\\&(i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{ r}+j_{r}>0,\quad 1\leq r\leq k).\end{aligned}}$

Detta uppgår till

$Z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\summa _{s\in S_{k+1 }}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}+i_{k+1}+j_{k+1}}}{\frac {\left[X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}X^{( i_{k+1})}Y^{(j_{k+1})}\right]}{i_{1}!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!i_{k +1}!j_{k+1}!}},$

 

 

 

 

()

0 där $i_{r},j_{r}\geq 0,\quad i_{r}+j_{r} >0,\quad 1\leq r\leq k+1,$ med den enkla observationen att [ T , T ] = 0 för alla T . Det vill säga i ( 100 ), försvinner den inledande termen om inte j _{k + 1} är lika med eller 1 , motsvarande den första och andra termen i ekvationen före den. I fallet j _{k + 1} = 0 måste i _{k + 1 vara} lika med 1 , annars försvinner termen av samma anledning ( ik _{+ 1} = 0 är inte tillåtet). Ändra slutligen indexet, k → k − 1 ,

$Z=\log e^{X}e^{Y}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}} \sum _{s\in S_{k}}{\frac {1}{i_{1}+j_{1}+\cdots +i_{k}+j_{k}}}{\frac {\left[ X^{(i_{1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\höger]}{i_{1 }!j_{1}!\cdots i_{k}!j_{k}!}},~i_{r},j_{r}\geq 0,~i_{r}+j_{r}>0,~ 1\leq r\leq k.$

Detta är Dynkins formel. Den slående likheten med (99) är inte oavsiktlig: Den återspeglar Dynkin-Specht-Wever-kartan , som underbygger den ursprungliga, annorlunda härledningen av formeln. Nämligen om

$X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}$

kan uttryckas som en parentesserie, då nödvändigtvis

$X^{i_{1}}Y^{j_{1}}\cdots X^{i_{k}}Y^{j_{k}}={\frac {\left[X^{(i_ {1})}Y^{(j_{1})}\cdots X^{(i_{k})}Y^{(j_{k})}\höger]}{i_{1}+j_{1 }+\cdots +i_{k}+j_{k}}}.$

 

 

 

 

()

Att sätta observation (A) och sats ( B ) tillsammans ger ett kortfattat bevis på den explicita BCH-formeln.

Se även

• Adjoint representation (annons)
• Baker-Campbell-Hausdorff formel
• Exponentiell karta
• Matris exponentiell
• Matrislogaritm
• Magnus expansion

Anteckningar

• Dynkin, Eugene Borisovich (1947), "Вычисление коэффициентов в формуле Campbell–Hausdorff" [Beräkning av koefficienterna i Campbell–Hausdorff-formeln], Doklady Akademii Nauk SSSR (på ryska), 357 32:6 ; översättning från Google böcker .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (andra upplagan), Springer, ISBN 978-3319134666
•   Miller, Wllard (1972), Symmetry Groups and their Applications , Academic Press, ISBN 0-12-497460-0
• Poincaré, H. (1899), "Sur les groupes continus", Cambridge Philos. Trans. , 18 : 220–55
•   Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups – An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Schur, F. (1891), "Zur Theorie der endlichen Transformationsgruppen", Abh. Matematik. Sem. Univ. Hamburg , 4 : 15–32
• Suzuki, Masuo (1985). "Sönderdelningsformler för exponentialoperatorer och Lie-exponentialer med vissa tillämpningar på kvantmekanik och statistisk fysik". Journal of Mathematical Physics . 26 (4): 601–612. Bibcode : 1985JMP....26..601S . doi : 10.1063/1.526596 .
•   Tuynman (1995), "Herledningen av den exponentiella kartan av matriser", Amer. Matematik. Monthly , 102 (9): 818–819, doi : 10.2307/2974511 , JSTOR 2974511
• Veltman, M , 't Hooft, G & de Wit, B (2007). "Lögggrupper i fysik", onlineföreläsningar .
• Wilcox, RM (1967). "Exponentiella operatorer och parameterdifferentiering i kvantfysik". Journal of Mathematical Physics . 8 (4): 962–982. Bibcode : 1967JMP.....8..962W . doi : 10.1063/1.1705306 .

externa länkar

• Sternberg, Shlomo (2004), Lie Algebras (PDF)
• Schmid, Wilfried (1982), "Poincaré and Lie-grupper" (PDF) , Bull. Amer. Matematik. Soc. , 6 (2): 175–186, doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2