AKLT modell

AKLT -modellen är en förlängning av den endimensionella kvantmodellen Heisenberg . Förslaget och den exakta lösningen av denna modell av Ian Affleck , Elliott H. Lieb , Tom Kennedy och Hal Tasaki [ avgörande insikter i fysiken i spin-1 Heisenberg-kedjan. Det har också fungerat som ett användbart exempel för sådana begrepp som valensbindningsfast ordning, symmetriskyddad topologisk ordning och matrisprodukttillståndsvågfunktioner.

Bakgrund

En stor motivation för AKLT-modellen var Majumdar–Ghosh-kedjan . Eftersom två av varje uppsättning av tre angränsande snurr i ett Majumdar-Ghosh grundtillstånd är ihopparade till en singlett eller valensbindning, kan de tre snurren tillsammans aldrig hittas i ett spinn 3/2-tillstånd. Faktum är att Majumdar-Ghosh Hamiltonian är ingenting annat än summan av alla projektorer av tre angränsande snurr till en 3/2-tillstånd.

Huvudinsikten med AKLT-papperet var att denna konstruktion kunde generaliseras för att få exakt lösbara modeller för andra spinnstorlekar än 1/2. Precis som ena änden av en valensbindning är ett spin 1/2, kan ändarna av två valensbindningar kombineras till ett spin 1, tre till ett spin 3/2, etc.

Definition

Affleck et al. var intresserade av att konstruera ett endimensionellt tillstånd med en valensbindning mellan varje par av platser. Eftersom detta leder till två spin 1/2s för varje sida, måste resultatet vara vågfunktionen av ett spin 1-system.

För varje angränsande par av snurr-1:orna, fastnar två av de fyra ingående spin-1/2:orna i ett totalt spinn-nollläge. Därför är varje par av spin 1:or förbjudet att vara i ett kombinerat spin 2-tillstånd. Genom att skriva detta villkor som summan av projektorer som gynnar spin 2-tillståndet för par av spin 1:or, kom AKLT fram till följande Hamiltonian

${\hat { H}}=\summa _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}} _{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S} }_{j+1})^{2}$

upp till en konstant, där ${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$ är spin-1-operatorer, och ${\textstyle {\textit {P}}_ {\langle ij\rangle }^{(2)}}$ den lokala 2-punktsprojektorn som gynnar spin 2-tillståndet för ett intilliggande par av snurr.

Denna Hamiltonian liknar spin 1, endimensionell kvant - Heisenberg-spinmodell men har ytterligare en "biquadratisk" spininteraktionsterm.

Marktillstånd

Genom konstruktion är grundtillståndet för AKLT Hamiltonian valensbindningen fast med en enda valensbindning som förbinder varje angränsande par av platser. Bildmässigt kan detta representeras som

Här representerar de heldragna punkterna spin 1/2s som sätts i singlettillstånd. Linjerna som förbinder spin 1/2s är valensbindningarna som indikerar mönstret av singletter. Ovalerna är projektionsoperatorer som "binder" ihop två spin 1/2s till ett enda spin 1, projicerar ut spin 0 eller singlet subspace och behåller endast spin 1 eller triplet subspace. Symbolerna "+", "0" och "−" betecknar standardspin 1-bastillstånden (egentillstånd för ${\displaystyle S^{z}}-$ operatorn).

Snurra 1/2 kanttillstånd

För fallet med snurr arrangerade i en ring (periodiska randvillkor) ger AKLT-konstruktionen ett unikt grundtillstånd. Men för fallet med en öppen kedja har det första och sista snurret 1 bara en enda granne, vilket lämnar en av deras ingående spinn 1/2s oparad. Som ett resultat beter sig ändarna av kedjan som gratissnurr 1/2 ögonblick trots att systemet endast består av 1:or.

Spin 1/2 kanttillstånden i AKLT-kedjan kan observeras på några olika sätt. För korta kedjor blandas kanttillstånden till en singlett eller en triplett som ger antingen ett unikt grundtillstånd eller en trefaldig multiplett av grundtillstånd. För längre kedjor frikopplas kanttillstånden exponentiellt snabbt som en funktion av kedjelängden, vilket leder till ett grundtillståndsgrenrör som är fyrfaldigt degenererat. Genom att använda en numerisk metod som DMRG för att mäta den lokala magnetiseringen längs kedjan, är det också möjligt att se kanttillstånden direkt och att visa att de kan tas bort genom att placera faktisk spin 1/2s i ändarna. Det har till och med visat sig möjligt att detektera spin 1/2-kanttillstånden i mätningar av en kvasi-1D magnetisk förening innehållande en liten mängd föroreningar vars roll är att bryta kedjorna i ändliga segment. År 2021 hittades en direkt spektroskopisk signatur av spin 1/2 kanttillstånd i isolerade kvantspinnkedjor byggda av triangulene , ett spin 1 polycykliskt aromatiskt kolväte .

Matrisprodukttillståndsrepresentation

Enkelheten i AKLTs grundtillstånd gör att den kan representeras i kompakt form som ett matrisprodukttillstånd . Detta är en vågfunktion av formen

$|\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatörsnamn {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N} }]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .$

Här är As en uppsättning av tre matriser märkta med $s_{j}$ och spåret kommer från att anta periodiska randvillkor.

AKLT:s marktillståndsvågfunktion motsvarar valet:

$A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}$

$A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}$

$A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}$

där $\sigma$ är en Pauli-matris .

Generaliseringar och förlängningar

AKLT-modellen har lösts på gitter av högre dimension, även i kvasikristaller . Modellen har också konstruerats för högre Lie-algebror inklusive SU( n ) , SO( n ) , Sp(n) och utökats till kvantgrupperna SUq( n ).